Questione di triangoli

[geckissimo]

Nel piano cartesiano sono dati il punto $Q(1,2)$ e la retta r: $x-2y=0$. Provare che esistono due punti $P_1$ e $P_2$ su r tali che i triangoli di vertice $OQP_1$ e $OQP_2$ hanno area 3.

ho provato qualcosa ma non riesco a trovare la soluzione alla questio...
mi sono preso troppo a male

[vict85]

La distanza del punto dalla retta è l'altezza dei due triangoli. Quindi per dimostrare che esiste devi solo trovare due punti che distano da O quanto è necessario. Con la geometria sintetica e usando gli assiomi di continuità avresti già finito... nel tuo caso basta qualche calcolo...

[geckissimo]

"vict85":La distanza del punto dalla retta è l'altezza dei due triangoli. Quindi per dimostrare che esiste devi solo trovare due punti che distano da O quanto è necessario. Con la geometria sintetica e usando gli assiomi di continuità avresti già finito... nel tuo caso basta qualche calcolo...

ma il triangolo non ha tre altezze ciascuno per ogni vertice?
inoltre se considero la stessa altezza per i due triangoli i punti che io cerco dovrebbero coincidere?!

[@melia]

I due punti sono sulla retta da parti opposte rispetto all'origine.
È vero che i triangoli hanno 3 altezze, ma l'unica altezza che puoi trovare è quella rispetto all'unico lato che conosci, ovvero OQ.

[geckissimo]

"@melia":I due punti sono sulla retta da parti opposte rispetto all'origine.
È vero che i triangoli hanno 3 altezze, ma l'unica altezza che puoi trovare è quella rispetto all'unico lato che conosci, ovvero OQ.

sì hai ragione... chiedo venia
solo che non riesco a capire il modo in cui possa trovare i punti analiticamente

io procedo in questo modo:
ricavo la distanza tra Q e la retta r nonchè altezza del triangolo
dopo ipotizzo una posizione generica del punto e impongo che la distanza del punto dall'origine debba essere unguale alla lunghezza della base trovata da $ (b*h)/2=3 rArr b= (3*2)/h $
Fatto ciò mi perdo... pensavo ad impostare qualche sistema per trovare le rispettive coordinate dei punti ma...

[Iris26]

Scegli come incognita la y dei punti cercati (puoi scegliere anche la x, ma è più comoda la y per i calcoli successivi).
Visto che i punti devono stare sulla retta x - 2 y = 0 , per i due punti deve risultare x = 2 y, quindi i punti sono del tipo ( 2y;y) con y incognita. Imponi che la distanza dei punti dall'origine sia uguale alla base (di cui hai trovato il valore numerico), sostituendo le coordinate incognite (2y;y), elevi al quadrato entrambi i membri e ottieni un'equazione di 2° grado in y, che risolvi. Trovati i due valori di y ricavi le corrispondenti ascisse e hai trovato i punti cercati.

[geckissimo]

mi ero assolutamente dimenticato della retta la quale fornisce la condizione fondamentale per quelle coordinate