Questa induzione dimostra davvero ciò che vogliamo?
Supponiamo che possiamo scrivere \( X = \bigcup_{i=1,\ldots,n} A_i \) dove ciascun \( A_i \) è connesso, e per ogni \( i = 2, \ldots, n \) abbiamo che \( A_i \cap A_{i-1} \neq \emptyset \), dimostra che \( (X, \tau_X ) \) è connesso. La conclusione rimane vera anche se consideriamo \( X = \bigcup_{i\in \mathbb{N}} A_i \) ?
La conclusione rimane vera anche se sostituiamo connessione per cammini al posto di connessione?
Dubbio 1) Quando intende che ciascun \( A_i \) è connesso sottointende con la topologia sottoinsieme (indotta)? Cioé \( \tau_{X,A_i} = \{ A_i \cap U : U \in \tau_{X} \} \)?
Dubbio 2) le soluzioni danno due dimostrazioni una per la connessione ed una per la connessione per cammini, mi domandavo se era sufficiente dimostrare solamente che è vero per connession per cammini e siccome uno spazio connesso per cammini è connesso allora l'altra seguiva direttamente.
Dubbio 3) Le soluzioni dicono che la conclusione è vera pure \( X = \bigcup_{i\in \mathbb{N}} A_i \) e da la stessa dimostrazione nel seguente modo
Definiamo \( I \) come \( \{ 1,\ldots, n \} \) o come \( \mathbb{N} \)
Consideriamo una funzione \( f: X \to \{0,1 \} \) continua e dove \( \{0,1 \} \) è equipaggiato con la topologia discreta. Dimostriamo che \( f \) è costante. Siccome \( f \) ristretta a \( A_i \) e ristretta a \( A_{i+1} \) è costante per ogni \( i \in I \) tale che \(i+1 \in I \). Diciamo che \( f(x)=a_i \in \{0,1 \} \) per \( x \in A_i \), e diciamo \( f(x)=a_{i+1} \in \{0,1 \} \) per \( x \in A_{i+1} \).
Siccome l'intersezione è non vuota abbiamo che \( a_i = a_{i+1} \) per ogni \( i \).
Con l'induzione segue che tutti gli \( a_i \) sono uguali e quindi \( f \) è costante su \( X= \bigcup_{i \in I} A_i \)
Il mio dubbio è il fatto che così ha dimostrato che per ogni \( n \in \mathbb{N} \) e con \( \operatorname{card}(I) = n \) allora abbiamo che \( X= \bigcup_{i \in I} A_i \) è connesso.
Ma non ha dimostrato che con \(\operatorname{card}(I) = \aleph_0 \) abbiamo lo stesso risultato.
La conclusione rimane vera anche se sostituiamo connessione per cammini al posto di connessione?
Dubbio 1) Quando intende che ciascun \( A_i \) è connesso sottointende con la topologia sottoinsieme (indotta)? Cioé \( \tau_{X,A_i} = \{ A_i \cap U : U \in \tau_{X} \} \)?
Dubbio 2) le soluzioni danno due dimostrazioni una per la connessione ed una per la connessione per cammini, mi domandavo se era sufficiente dimostrare solamente che è vero per connession per cammini e siccome uno spazio connesso per cammini è connesso allora l'altra seguiva direttamente.
Dubbio 3) Le soluzioni dicono che la conclusione è vera pure \( X = \bigcup_{i\in \mathbb{N}} A_i \) e da la stessa dimostrazione nel seguente modo
Definiamo \( I \) come \( \{ 1,\ldots, n \} \) o come \( \mathbb{N} \)
Consideriamo una funzione \( f: X \to \{0,1 \} \) continua e dove \( \{0,1 \} \) è equipaggiato con la topologia discreta. Dimostriamo che \( f \) è costante. Siccome \( f \) ristretta a \( A_i \) e ristretta a \( A_{i+1} \) è costante per ogni \( i \in I \) tale che \(i+1 \in I \). Diciamo che \( f(x)=a_i \in \{0,1 \} \) per \( x \in A_i \), e diciamo \( f(x)=a_{i+1} \in \{0,1 \} \) per \( x \in A_{i+1} \).
Siccome l'intersezione è non vuota abbiamo che \( a_i = a_{i+1} \) per ogni \( i \).
Con l'induzione segue che tutti gli \( a_i \) sono uguali e quindi \( f \) è costante su \( X= \bigcup_{i \in I} A_i \)
Il mio dubbio è il fatto che così ha dimostrato che per ogni \( n \in \mathbb{N} \) e con \( \operatorname{card}(I) = n \) allora abbiamo che \( X= \bigcup_{i \in I} A_i \) è connesso.
Ma non ha dimostrato che con \(\operatorname{card}(I) = \aleph_0 \) abbiamo lo stesso risultato.
Risposte
"3m0o":
Dubbio 1) Quando intende che ciascun \( A_i \) è connesso sottointende con la topologia sottoinsieme (indotta)?
Si, certo.
Dubbio 2) le soluzioni danno due dimostrazioni una per la connessione ed una per la connessione per cammini, mi domandavo se era sufficiente dimostrare solamente che è vero per connession per cammini e siccome uno spazio connesso per cammini è connesso allora l'altra seguiva direttamente.
No, perché in quel caso hai come ipotesi solamente che gli insiemi sono connessi, non connessi per archi (a proposito di solito si dice connesso per archi, non per cammini).
Il mio dubbio è il fatto che così ha dimostrato che per ogni \( n \in \mathbb{N} \) e con \( \operatorname{card}(I) = n \) allora abbiamo che \( X= \bigcup_{i \in I} A_i \) è connesso.
Ma non ha dimostrato che con \(\operatorname{card}(I) = \aleph_0 \) abbiamo lo stesso risultato.
Ha dimostrato che $AAi\inNN, f(A_i)=f(A_1)$, quindi $f(X)=f(uuu_(i\inNN)A_i)=f(A_1)$, quindi la funzione è costante.
"otta96":
No, perché in quel caso hai come ipotesi solamente che gli insiemi sono connessi, non connessi per archi (a proposito di solito si dice connesso per archi, non per cammini).
Vero, hai ragione!
"otta96":
Ha dimostrato che $AAi\inNN, f(A_i)=f(A_1)$, quindi $f(X)=f(uuu_(i\inNN)A_i)=f(A_1)$, quindi la funzione è costante.
quindi l'induzione da sola non è sufficiente ma è necessario anche avere \( f(X) = f\left( \bigcup_{i \in I} A_i \right) = \bigcup_{i \in I}f \left( A_i \right) \)
Ma ti torna che per induzione hai dimostrato che tutti gli $a_i$ sono uguali? A quel punto hai che la funzione è costante.
"otta96":
Ma ti torna che per induzione hai dimostrato che tutti gli $a_i$ sono uguali? A quel punto hai che la funzione è costante.
Mi torna ma solo se \( \operatorname{card}(I) = n\) per ogni \( n \in \mathbb{N} \). Ovvero mi torna per qualunque unione finita che gli \( a_i \) sono uguali. Ma il passo che fa sì che è vero anche quando \( \operatorname{card}(I)=\operatorname{card}(\mathbb{N}) \) l'induzione non è sufficiente nel senso che devo anche avere \( f \left( \bigcup_{i \in I} A_i \right) = \bigcup_{i \in I} f \left( A_i \right) \)
altrimenti a priori potrebbe essere falso che \( f \left( \bigcup_{i \in I} A_i \right) = f(A_1) \)
L'induzione lo dimostra per un insieme numerabile: se per ogni \(n\) si ha che \(f(\bigcup_{i\in n}A_i) =f(A_1)\), allora è vera la stessa cosa per \(i\in \mathbb N\); l'induzione transfinita lo dimostra per un insieme di cardinalità più alta.
Prova a vederla così: devi dimostrare che la funzione è costante. Se prendi due punti nel dominio $x,y\inX$, hai che $EEn,m\inNN$ tali che $x\inA_n,y\inA_m$, allora se ti torna l'induzione solo per numeri naturali considerala per $\max{n,m}$, ottieni così che $f(x)=f(y)$ e hai finito.
Allora o non capisco io oppure mi sto spiegando male.
Vi porto un'altro esempio per farmi capire.
Dato uno spazio di probabilità \( (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) \) e \( (E_n, n \geq 1 ) \) degli eventi in \( \mathcal{F} \). Dimostrare
(a) La disuguaglianza di Boole : \( \mathbb{P}( \cup_{n=1}^{m} E_n) \leq \sum\limits_{n=1}^{m} \mathbb{P}(E_n) \)
(b) Dimostra che \( \mathbb{P}( \cup_{n=1}^{\infty} E_n) \leq \sum\limits_{n=1}^{\infty} \mathbb{P}(E_n) \)
Io avevo fatto la (a) per induzione e pertanto (b) è vera.
Nel modo seguente \( m=1 \) vera! Supponiamo vero per \( m -1 \) allor
\[\mathbb{P}( E_1 \cup \ldots, E_m ) = \mathbb{P}( E_1 \cup \ldots, E_{m-1} ) + P(E_m) - P((E_1 \cup \ldots \cup E_{m-1}) \cap E_n) \]
\[ \leq P( E_1 \cup \ldots \cup E_{m-1} ) + P(E_m) \leq \sum\limits_{n=1}^{m} P(E_n) \]
L'assistente mi ha corretto dicendomi che l'induzione dimostra (a) ma non dimostra (b).
Per dimostrare (b) bisogna utilizzare la continuità della probabilità. Costruire una successione di eventi \( A_m \) tale che \( A_m \subset A_{m+1} \) nel modo seguente \( A_m = \bigcup_{n=1}^{m} E_n \)
Allora abbiamo che
\[ \mathbb{P} \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} E_n \right) = \mathbb{P} \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \right) = \lim_{N \to \infty} \mathbb{P} \left( A_N\right) = \lim_{N \to \infty} \mathbb{P} \left( \bigcup_{n=1}^{N} E_n \right) \]
\[ \leq \lim_{N \to \infty} \sum\limits_{n=1}^{ N} \mathbb{P} \left( E_n \right) =\sum\limits_{n=1}^{ \infty} \mathbb{P} \left( E_n \right) \]
In modo analogo abbiamo che \( f(\bigcup_{i=1}^{n} A_i ) \) è costante e per l'induzione è vero per ogni \( n \in \mathbb{N} \) ma per dimostrare che
\( f(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i ) =f(\bigcup_{i \in \mathbb{N} } A_i ) \) è costante l'induzione non è sufficiente.
Vi porto un'altro esempio per farmi capire.
Dato uno spazio di probabilità \( (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) \) e \( (E_n, n \geq 1 ) \) degli eventi in \( \mathcal{F} \). Dimostrare
(a) La disuguaglianza di Boole : \( \mathbb{P}( \cup_{n=1}^{m} E_n) \leq \sum\limits_{n=1}^{m} \mathbb{P}(E_n) \)
(b) Dimostra che \( \mathbb{P}( \cup_{n=1}^{\infty} E_n) \leq \sum\limits_{n=1}^{\infty} \mathbb{P}(E_n) \)
Io avevo fatto la (a) per induzione e pertanto (b) è vera.
Nel modo seguente \( m=1 \) vera! Supponiamo vero per \( m -1 \) allor
\[\mathbb{P}( E_1 \cup \ldots, E_m ) = \mathbb{P}( E_1 \cup \ldots, E_{m-1} ) + P(E_m) - P((E_1 \cup \ldots \cup E_{m-1}) \cap E_n) \]
\[ \leq P( E_1 \cup \ldots \cup E_{m-1} ) + P(E_m) \leq \sum\limits_{n=1}^{m} P(E_n) \]
L'assistente mi ha corretto dicendomi che l'induzione dimostra (a) ma non dimostra (b).
Per dimostrare (b) bisogna utilizzare la continuità della probabilità. Costruire una successione di eventi \( A_m \) tale che \( A_m \subset A_{m+1} \) nel modo seguente \( A_m = \bigcup_{n=1}^{m} E_n \)
Allora abbiamo che
\[ \mathbb{P} \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} E_n \right) = \mathbb{P} \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \right) = \lim_{N \to \infty} \mathbb{P} \left( A_N\right) = \lim_{N \to \infty} \mathbb{P} \left( \bigcup_{n=1}^{N} E_n \right) \]
\[ \leq \lim_{N \to \infty} \sum\limits_{n=1}^{ N} \mathbb{P} \left( E_n \right) =\sum\limits_{n=1}^{ \infty} \mathbb{P} \left( E_n \right) \]
In modo analogo abbiamo che \( f(\bigcup_{i=1}^{n} A_i ) \) è costante e per l'induzione è vero per ogni \( n \in \mathbb{N} \) ma per dimostrare che
\( f(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i ) =f(\bigcup_{i \in \mathbb{N} } A_i ) \) è costante l'induzione non è sufficiente.
Ma l'hai letto il mio ultimo messaggio e ci hai riflettuto?
"otta96":
Prova a vederla così: devi dimostrare che la funzione è costante. Se prendi due punti nel dominio $x,y\inX$, hai che $EEn,m\inNN$ tali che $x\inA_n,y\inA_m$, allora se ti torna l'induzione solo per numeri naturali considerala per $\max{n,m}$, ottieni così che $f(x)=f(y)$ e hai finito.
"otta96":
Ma l'hai letto il mio ultimo messaggio e ci hai riflettuto?
Non lo avevo visto, così okay perché ti stai riportando ad un caso finito, quindi anche \( X = \bigcup_{i \in \mathbb{N}} A_i \) è connesso visto che per ogni coppia di punti puoi fare quello che hai fatto.
Ma nuovamente ti sei ridotto ad un caso finito dove l'induzione funziona quindi non mi sembra sufficiente l'induzione senza l'aggiunta di una giustificazione ulteriore ad esempio la tua. Sbaglio?
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