Quesito poco NORMA..le
Siamo in $V=RR^n$ o in $V=CC^n$.
Definisco norma vettoriale un'applicazione $||*||:V to RR$ tale che:
1) $||v||>=0$ per ogni $v in V$ e $||v||=0 <=> v=0$
2) $||av||=|a|*||v||$ per ogni $a in RR$ (o $CC$) e ogni $v in V$
3) $||v+w||<=||v||+||w||$ per ogni $v,w in V$
Detto M l'insieme delle matrici di ordine n (quindi $RR^(nxn)$ oppure $CC^(nxn)$) definisco norma matriciale un'applicazione $||*||:M to RR$ tale che:
1) $||A||>=0$ per ogni $A in M$ e $||A||=0 <=> A=0$
2) $||aA||=|a|*||A||$ per ogni $a in RR$ (o $CC$) e ogni $A in M$
3) $||A+B||<=||A||+||B||$ per ogni $A,B in M$
4) $||AB||<=||A||*||B||$ per ogni $A,B in M$
Data una norma vettoriale $||*||$ su V definisco norma matriciale indotta la funzione (che indico sempre con $||*||$ per originalità)
$||*||:M to RR$
$\ \ \ \ \ \ \ A to ||A||=max_{||v||=1}||Av||$
Questa è una norma matriciale (e la verifica è quasi banale). Altra verifica quasi banale è che esistono norme matriciali che non sono indotte da alcuna norma vettoriale.
Scusate se ripeto fatti noti ma è giusto per chiarire le definizioni e le notazioni che uso.
Quesito
Quali norme vettoriali inducono la stessa norma matriciale? Alias: cosa hanno in comune due norme vettoriali se inducono la stessa norma matriciale. Alias°Alias: Quali caratteristiche di una norma vettoriale "passano" alla relativa norma indotta?
Io per ora ho fatto tanti conti ma l'unico risultato che ho ottenuto è molto semplice e cioè il fatto che:
se $||*||$ è una norma vettoriale allora per ogni $alpha in RR^+$ $alpha||*||$ è ancora una norma vettoriale e (TADAN!) induce la stessa norma.
Ho ottenuto degli altri microrisultati ma non saprei davvero come metterli insieme.
Sono graditi suggerimenti. Mi aspetto che qualcuno me lo risolva in 3 righe, specificando che è banale.
Grazie.
A.
Definisco norma vettoriale un'applicazione $||*||:V to RR$ tale che:
1) $||v||>=0$ per ogni $v in V$ e $||v||=0 <=> v=0$
2) $||av||=|a|*||v||$ per ogni $a in RR$ (o $CC$) e ogni $v in V$
3) $||v+w||<=||v||+||w||$ per ogni $v,w in V$
Detto M l'insieme delle matrici di ordine n (quindi $RR^(nxn)$ oppure $CC^(nxn)$) definisco norma matriciale un'applicazione $||*||:M to RR$ tale che:
1) $||A||>=0$ per ogni $A in M$ e $||A||=0 <=> A=0$
2) $||aA||=|a|*||A||$ per ogni $a in RR$ (o $CC$) e ogni $A in M$
3) $||A+B||<=||A||+||B||$ per ogni $A,B in M$
4) $||AB||<=||A||*||B||$ per ogni $A,B in M$
Data una norma vettoriale $||*||$ su V definisco norma matriciale indotta la funzione (che indico sempre con $||*||$ per originalità)
$||*||:M to RR$
$\ \ \ \ \ \ \ A to ||A||=max_{||v||=1}||Av||$
Questa è una norma matriciale (e la verifica è quasi banale). Altra verifica quasi banale è che esistono norme matriciali che non sono indotte da alcuna norma vettoriale.
Scusate se ripeto fatti noti ma è giusto per chiarire le definizioni e le notazioni che uso.
Quesito Quali norme vettoriali inducono la stessa norma matriciale? Alias: cosa hanno in comune due norme vettoriali se inducono la stessa norma matriciale. Alias°Alias: Quali caratteristiche di una norma vettoriale "passano" alla relativa norma indotta?
Io per ora ho fatto tanti conti ma l'unico risultato che ho ottenuto è molto semplice e cioè il fatto che:
se $||*||$ è una norma vettoriale allora per ogni $alpha in RR^+$ $alpha||*||$ è ancora una norma vettoriale e (TADAN!) induce la stessa norma.
Ho ottenuto degli altri microrisultati ma non saprei davvero come metterli insieme.
Sono graditi suggerimenti. Mi aspetto che qualcuno me lo risolva in 3 righe, specificando che è banale.
Grazie.
A.
Risposte
Secondo me può darsi che le norme vettoriali che inducono la stessa norma matriciale $||cdot||$ siano tutte e sole le $alpha||cdot||$. (chiaramente uso lo stesso simbolo per la norma di vettore e per quella di matrice indotta).
Magari per motivi geometrici: in fondo una norma di matrice è una specie di misura della deformazione che la matrice (meglio: l'applicazione lineare associata) applica alla sfera unitaria.
Se cambia la norma di vettore, conseguentemente cambia pure la forma della sfera unitaria ed è chiaro che due norme di vettore sono uguali se e solo se hanno la stessa sfera unitaria.
Quando tu cambi la norma semplicemente riscalandola con $alpha$, è come se stessi semplicemente dilatando o restringendo la sfera unitaria, e siccome parliamo di matrici (app. lineari) per la loro omogeneità tu misuri sempre la stessa deformazione.
Se però cambi la forma della sfera unitaria, i.e. passi ad una norma diversa da $alpha||cdot||$, allora dovresti trovare una matrice che deforma in maniera diversa le due sfere (leggi: le norme di matrice sono diverse).
Faccio un esempio scemo: con la norma euclidea, la sfera unitaria di $RR^2$ è una circonferenza; con la norma 1 è un quadrato di lato $sqrt(2)$ con le diagonali sugli assi. La matrice $[[cos\ pi/4, -sin\ pi/4], [sin\ pi/4, cos\ pi/4]]$ (rotazione di $45°$ in senso antiorario) è unitaria e difatti la sua norma -indotta dalla norma vettoriale- euclidea vale 1. Se però ruoti la sfera unitaria della norma 1 di 45°, ti accorgi che il vertice $[1, 0]$ (quello sull'asse positivo delle x) va a finire nel punto $[cos\ pi/4, sin\ pi/4]=1/2[sqrt(2), sqrt(2)]$ e se ne calcoli la norma 1 ti viene fuori $sqrt(2)>1$. Quindi la norma 1 della rotazione è almeno $sqrt(2)$, e perciò la norma 1 e la norma 2 di vettore inducono una diversa norma di matrice. Spero di essere chiaro
.
Non solo: penso sia vero che l'unica figura compatta, contenente l'origine di $RR^2$ e invariante per rotazioni è il cerchio.
Infatti, se una figura ha questa proprietà, per ogni suo punto $P$ di norma 2 $rho$ necessariamente tutta la circonferenza di centro 0 e raggio $rho$ è nella figura. E quindi la figura è un cerchio.
Conclusione: in $M_2(RR)$, la norma $||cdot||_2$ è indotta solo dalle norme vettoriali $alpha||cdot||_2$. Infatti ogni altra norma ha una palla unitaria diversa dal cerchio, e perciò le matrici di rotazione (la cui norma euclidea è sempre 1) assumono valore diverso da 1.
Se sei arrivato a leggere fin qui, dimmi che ne pensi! A parte il fatto che, probabilmente, anche tutto il papocchio che ho combinato io in questo post si poteva riassumere in 2 righe... (sempre che non ci siano errori!)
Magari per motivi geometrici: in fondo una norma di matrice è una specie di misura della deformazione che la matrice (meglio: l'applicazione lineare associata) applica alla sfera unitaria.
Se cambia la norma di vettore, conseguentemente cambia pure la forma della sfera unitaria ed è chiaro che due norme di vettore sono uguali se e solo se hanno la stessa sfera unitaria.
Quando tu cambi la norma semplicemente riscalandola con $alpha$, è come se stessi semplicemente dilatando o restringendo la sfera unitaria, e siccome parliamo di matrici (app. lineari) per la loro omogeneità tu misuri sempre la stessa deformazione.
Se però cambi la forma della sfera unitaria, i.e. passi ad una norma diversa da $alpha||cdot||$, allora dovresti trovare una matrice che deforma in maniera diversa le due sfere (leggi: le norme di matrice sono diverse).
Faccio un esempio scemo: con la norma euclidea, la sfera unitaria di $RR^2$ è una circonferenza; con la norma 1 è un quadrato di lato $sqrt(2)$ con le diagonali sugli assi. La matrice $[[cos\ pi/4, -sin\ pi/4], [sin\ pi/4, cos\ pi/4]]$ (rotazione di $45°$ in senso antiorario) è unitaria e difatti la sua norma -indotta dalla norma vettoriale- euclidea vale 1. Se però ruoti la sfera unitaria della norma 1 di 45°, ti accorgi che il vertice $[1, 0]$ (quello sull'asse positivo delle x) va a finire nel punto $[cos\ pi/4, sin\ pi/4]=1/2[sqrt(2), sqrt(2)]$ e se ne calcoli la norma 1 ti viene fuori $sqrt(2)>1$. Quindi la norma 1 della rotazione è almeno $sqrt(2)$, e perciò la norma 1 e la norma 2 di vettore inducono una diversa norma di matrice. Spero di essere chiaro
. Non solo: penso sia vero che l'unica figura compatta, contenente l'origine di $RR^2$ e invariante per rotazioni è il cerchio.
Infatti, se una figura ha questa proprietà, per ogni suo punto $P$ di norma 2 $rho$ necessariamente tutta la circonferenza di centro 0 e raggio $rho$ è nella figura. E quindi la figura è un cerchio.
Conclusione: in $M_2(RR)$, la norma $||cdot||_2$ è indotta solo dalle norme vettoriali $alpha||cdot||_2$. Infatti ogni altra norma ha una palla unitaria diversa dal cerchio, e perciò le matrici di rotazione (la cui norma euclidea è sempre 1) assumono valore diverso da 1.
Se sei arrivato a leggere fin qui, dimmi che ne pensi! A parte il fatto che, probabilmente, anche tutto il papocchio che ho combinato io in questo post si poteva riassumere in 2 righe... (sempre che non ci siano errori!)
Penso che tu sia arrivato alla mia stessa conclusione... tutto lascia supporre che effettivamente fissata una norma vettoriale la sua Norma indotta è indotta solo dai "multipli" di quella di partenza. (uso la maiuscola per le norme matriciali altrimenti non ci si capisce più niente).
Però l'argomentazione che hai addotto (a cui avevo pensato- più o meno così -anch'io) mi sembra che dimostri solo che la classe delle norme che inducono la Norma 1 è disgiunta dalla classe delle norme che inducono la Norma euclidea.
La mia indecisione dipende principalmente da:
1) Principio di equivalenza delle norme che vale sia per le norme che per le Norme. Problema: se prendo due norme molto vicine o con qualche relazione particolare fra loro (diversa dall'essere multiple) non può essere che la linearità del prodotto tra matrici mi annulli questa differenza quando passo alla Norma indotta?
2) Un teorema che dice che $v to ||S^(-1)v||_infty$ è una norma vettoriale (per ogni S matrice invertibile) che induce la Norma matriciale $A to ||S^(-1)AS||_infty$. Problema: Se prendo S e T matrici (non ne ho trovata una in particolare...ci sto ancora pensando) tali che coniugando A per S e per T gli effetti di quella che tu chiami deformazione della sfera unitaria siano gli stessi per ogni matrice A non può darsi che ottengo la stessa Norma da norme non multiple?
Sono convinto al 99,9% che la soluzione sia proprio quella che hai detto te. Ma è quel 0.1% che non mi fa dormire...
Però l'argomentazione che hai addotto (a cui avevo pensato- più o meno così -anch'io) mi sembra che dimostri solo che la classe delle norme che inducono la Norma 1 è disgiunta dalla classe delle norme che inducono la Norma euclidea.
La mia indecisione dipende principalmente da:
1) Principio di equivalenza delle norme che vale sia per le norme che per le Norme. Problema: se prendo due norme molto vicine o con qualche relazione particolare fra loro (diversa dall'essere multiple) non può essere che la linearità del prodotto tra matrici mi annulli questa differenza quando passo alla Norma indotta?
2) Un teorema che dice che $v to ||S^(-1)v||_infty$ è una norma vettoriale (per ogni S matrice invertibile) che induce la Norma matriciale $A to ||S^(-1)AS||_infty$. Problema: Se prendo S e T matrici (non ne ho trovata una in particolare...ci sto ancora pensando) tali che coniugando A per S e per T gli effetti di quella che tu chiami deformazione della sfera unitaria siano gli stessi per ogni matrice A non può darsi che ottengo la stessa Norma da norme non multiple?
Sono convinto al 99,9% che la soluzione sia proprio quella che hai detto te. Ma è quel 0.1% che non mi fa dormire...
Su quello 0.1% non metterei la mano sul fuoco neanche io(a volte negli spazi normati si arriva a conclusioni parecchio controintuitive).
Veramente il mio obiettivo era dimostrare che in $RR^2$ e $M_2(RR)$ la Norma euclidea è indotta solo dalla norma euclidea e dai multipli. Stanotte ho combinato un gran casino
, adesso provo a sistemare le cose.
Prima di tutto una piccola precisazione: la definzione di Norma indotta è $||A||=max_{||x||=1}||Ax||=max_{||x||<=1}||Ax||$, cioè fa lo stesso misurare la deformazione sulla palla unitaria chiusa o solo sulla sua "crosta" (sfera unitaria). Su questo penso che non ci piova. E poi scrivo $R_theta$ per indicare $[[cos\ theta, -sin\ theta], [sin\ theta, cos\ theta]]$.
Chiamiamo $B={x\inRR^2\ |\ ||x||_2<=1}, B_alpha={\x\inRR^2\ |\ ||x||_2<=alpha}$. E' chiaro che se una norma vettoriale ha come palla unitaria $B$ o una $B_alpha$ allora è la norma euclidea o un multiplo.
Succede che le rotazioni $R_theta$ mandano le $B_alpha$ nelle $B_alpha$. Ma le uniche figure compatte, convesse, contenenti l'origine che hanno questa proprietà di invarianza per rotazioni sono proprio le $B_alpha$ (la "dimostrazione" intuitiva è scritta nel mio post precedente - andrebbe sistemata per benino ma sono abbastanza sicuro che il risultato sia vero). E' noto che le palle chiuse di qualunque norma sono compatte, convesse e contengono l'origine.
Adesso misuriamo la Norma euclidea delle $R_theta$: si tratta di calcolare $max_{||x||_2<=1}||R_theta x||_2$ e si sa che il risultato è 1 (cosa che ci aspettavamo, visto il discorso di prima sull'invarianza per rotazioni). Stesso risultato otteniamo con multipli della norma euclidea.
Infine, prendiamo un'altra norma $||cdot||$. Questa è diversa dalla norma euclidea e dai suoi multipli $iff$ la sua palla unitaria è diversa dalle $B_alpha$ $iff$ la sua palla unitaria non è invariante per rotazioni. Ma se la palla unitaria non è invariante per rotazioni, vuol dire che deve esistere una applicazione $R_theta\mapstoR_thetax$, che manda qualche vettore della palla unitaria fuori dalla palla unitaria stessa. E allora $max_{||x||<=1}||R_theta x||$ non può essere 1. (Anzi deve essere $>1$). Concludiamo che la Norma indotta da $||cdot||$ è diversa dalla Norma euclidea.
[edit] Questo discorso naturalmente vale per $RR^2$ e basta visto che le rotazioni $R_theta$ sono proprie di $RR^2$. Ma penso che non sia difficile generalizzare a $RR^n$ considerando, invece delle sole rotazioni, tutte le matrici ortogonali. Difatti mi sembra vero che gli unici insiemi compatti, convessi e contenenti l'origine di $RR^n$, invarianti per l'azione delle matrici ortogonali sono le iper-palle (:-D) della norma euclidea. Naturalmente tutto questo non risponde alla tua domanda, ma dice solo che, per la Norma euclidea reale, la cosa funziona. Non so cosa succede quando passiamo ai complessi, e non so come generalizzare il discorso alle norme qualunque. Penso che un modo ci sia, però.
"Megan00b":
Però l'argomentazione che hai addotto (a cui avevo pensato- più o meno così -anch'io) mi sembra che dimostri solo che la classe delle norme che inducono la Norma 1 è disgiunta dalla classe delle norme che inducono la Norma euclidea.
Veramente il mio obiettivo era dimostrare che in $RR^2$ e $M_2(RR)$ la Norma euclidea è indotta solo dalla norma euclidea e dai multipli. Stanotte ho combinato un gran casino
, adesso provo a sistemare le cose. Prima di tutto una piccola precisazione: la definzione di Norma indotta è $||A||=max_{||x||=1}||Ax||=max_{||x||<=1}||Ax||$, cioè fa lo stesso misurare la deformazione sulla palla unitaria chiusa o solo sulla sua "crosta" (sfera unitaria). Su questo penso che non ci piova. E poi scrivo $R_theta$ per indicare $[[cos\ theta, -sin\ theta], [sin\ theta, cos\ theta]]$.
Chiamiamo $B={x\inRR^2\ |\ ||x||_2<=1}, B_alpha={\x\inRR^2\ |\ ||x||_2<=alpha}$. E' chiaro che se una norma vettoriale ha come palla unitaria $B$ o una $B_alpha$ allora è la norma euclidea o un multiplo.
Succede che le rotazioni $R_theta$ mandano le $B_alpha$ nelle $B_alpha$. Ma le uniche figure compatte, convesse, contenenti l'origine che hanno questa proprietà di invarianza per rotazioni sono proprio le $B_alpha$ (la "dimostrazione" intuitiva è scritta nel mio post precedente - andrebbe sistemata per benino ma sono abbastanza sicuro che il risultato sia vero). E' noto che le palle chiuse di qualunque norma sono compatte, convesse e contengono l'origine.
Adesso misuriamo la Norma euclidea delle $R_theta$: si tratta di calcolare $max_{||x||_2<=1}||R_theta x||_2$ e si sa che il risultato è 1 (cosa che ci aspettavamo, visto il discorso di prima sull'invarianza per rotazioni). Stesso risultato otteniamo con multipli della norma euclidea.
Infine, prendiamo un'altra norma $||cdot||$. Questa è diversa dalla norma euclidea e dai suoi multipli $iff$ la sua palla unitaria è diversa dalle $B_alpha$ $iff$ la sua palla unitaria non è invariante per rotazioni. Ma se la palla unitaria non è invariante per rotazioni, vuol dire che deve esistere una applicazione $R_theta\mapstoR_thetax$, che manda qualche vettore della palla unitaria fuori dalla palla unitaria stessa. E allora $max_{||x||<=1}||R_theta x||$ non può essere 1. (Anzi deve essere $>1$). Concludiamo che la Norma indotta da $||cdot||$ è diversa dalla Norma euclidea.
[edit] Questo discorso naturalmente vale per $RR^2$ e basta visto che le rotazioni $R_theta$ sono proprie di $RR^2$. Ma penso che non sia difficile generalizzare a $RR^n$ considerando, invece delle sole rotazioni, tutte le matrici ortogonali. Difatti mi sembra vero che gli unici insiemi compatti, convessi e contenenti l'origine di $RR^n$, invarianti per l'azione delle matrici ortogonali sono le iper-palle (:-D) della norma euclidea. Naturalmente tutto questo non risponde alla tua domanda, ma dice solo che, per la Norma euclidea reale, la cosa funziona. Non so cosa succede quando passiamo ai complessi, e non so come generalizzare il discorso alle norme qualunque. Penso che un modo ci sia, però.
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