Quesito geometria differenziale

[Lorz1]

Su $RR^{n+1}$ si fissi $0> =-sum_{k=1}^v x_i y_i + sum_{k=v+1}^{n+1}x_i y_i$ e si consideri $M_v={x in RR^{n+1}:$$=1}$
Provare che: $M_v$ è un'ipersuperficie diffeomorfa a $RR^v xx S^{n-v}$ dove $S^{n-v}$ è la sfera unità n-v-dimensionale
Nel caso in cui $v=n$ provare che $M_v$ ha 2 componenti connesse diffeomorfe tra loro.

Ho provato che è una ipersuperficie, ho un po' di difficoltà a provare i diffeomorfismi. come potrei fare?

[solaàl]

Ci sono diversi modi di farlo: farsi un esempio in dimensione 2 e generalizzare; provare che esiste una mappa \(\mathbb R^{n+1} \to \mathbb R^{n+1}\) che scende al quoziente nelle ultime \(n-v\) componenti, in modo da fattorizzare sulla sfera; usare la condizione che definisce \(M_v\) e mostrare che la mappa che manda \(x\) in \((x_v, [x]_{S^{n-v}})\) è ben definita...

[Lorz1]

Scusami ma non capisco a quale quoziente mi suggerisci di passare, il ragionamento mi è chiaro comunque grazie mille.

[solaàl]

Una sfera è uno spazio quoziente.

[Lorz1]

Allora io stavo ragionando così: Considero l'applicazione $F:M_v rarr RR^v xx S^{n-v}$ tale che $F(x_1,...,x_v,x_{v+1}...,x_{n+1})=(x_1,...,x_v, {2x_{v+1}}/{1+sum_{k=v+1}^n x_k^2},...,{2x_n}/{1+sum_{k=v+1}^n x_k^2},{1-sum_{k=v+1}^n x_k^2}/{1+sum_{k=v+1}^n x_k^2})$.
Adesso, sfruttando il fatto che $(x_1,...x_{n+1}) in M_v$ dovrei mostrare che le ultime $n-v+1$ componenti formano un vettore di $S^{n-v}$ cosa che dovrebbe essere vera (sto usando la proiezione stereografica) ma che non riesco a mostrare. Ad ogni modo non mi convince molto quello che sto facendo perchè seguendo questo ragionamento potrei identificare qualsiasi varietà n-dimensionale con quel prodotto, il che mi sembra strano