Quesito fac-simile esame
Sto esercitandomi nei quesito ed ho incontrato questo:
Fissata la base standard$ B={e_(1),e_(2),e_(3)}$ di $R^3$ si consideri l'applicaz lineare L:$R^3$--->$R^3$ tale che : L(e1)=e1+e2; L(e2)=e2-e3; L(e3)=e1+e3.
Ho calcolato la dim(ImL)=2. La dim(ker L)=1
poi ho calcolato L'eq.cartesiana di Im L : x-y-z=0
Ora devo trovare una base del kerL : ho posto la matrice associata=0 e mi esce ${\lambda=-\vi},{\mu=\vi},{\vi=\mu}$ ora attribuisco valori arbitrari alle tre incognite per esempio 1 e quindi $B=((-1),(1),(1))$ ?o bisogna comportarsi diversamente?
E l'ultimo mi dice di trovare la matrice rappresentativa di L nella base B'. In questo non so proprio come partire
Con B' composta dai vettori u1=e1+e2, u2=e2+e3, u3=e1+e3
Se riuscite a farmi capire ve ne sarei grato!!:)
Fissata la base standard$ B={e_(1),e_(2),e_(3)}$ di $R^3$ si consideri l'applicaz lineare L:$R^3$--->$R^3$ tale che : L(e1)=e1+e2; L(e2)=e2-e3; L(e3)=e1+e3.
Ho calcolato la dim(ImL)=2. La dim(ker L)=1
poi ho calcolato L'eq.cartesiana di Im L : x-y-z=0
Ora devo trovare una base del kerL : ho posto la matrice associata=0 e mi esce ${\lambda=-\vi},{\mu=\vi},{\vi=\mu}$ ora attribuisco valori arbitrari alle tre incognite per esempio 1 e quindi $B=((-1),(1),(1))$ ?o bisogna comportarsi diversamente?
E l'ultimo mi dice di trovare la matrice rappresentativa di L nella base B'. In questo non so proprio come partire
Con B' composta dai vettori u1=e1+e2, u2=e2+e3, u3=e1+e3
Se riuscite a farmi capire ve ne sarei grato!!:)
Risposte
Hai fatto bene (concettualmente, non
ho seguito i calcoli).
La matrice associata $L_1$ in una base $B_1$; essendo $L_0$ la matrice
ass.in una base $B_0$,; è:
$L_1=M^-1L_0M$, dove $M$ è la matrice di cambiamento di base da $B_1$ a $B_0$ ($M^-1$ ovviamente lo
è da $B_0$ a $B_1$).
Puoi prenderla così:
$M$ ti porta le coordinate di un vettore dalla base $B_1$ alla $B_0$;
$L_0$ ne dà dell'immagine in $B_0$;
$M^-1$ ti porta le coordinate in $B_0$ dell'immagine nella base $B_1$.
ho seguito i calcoli).
La matrice associata $L_1$ in una base $B_1$; essendo $L_0$ la matrice
ass.in una base $B_0$,; è:
$L_1=M^-1L_0M$, dove $M$ è la matrice di cambiamento di base da $B_1$ a $B_0$ ($M^-1$ ovviamente lo
è da $B_0$ a $B_1$).
Puoi prenderla così:
$M$ ti porta le coordinate di un vettore dalla base $B_1$ alla $B_0$;
$L_0$ ne dà dell'immagine in $B_0$;
$M^-1$ ti porta le coordinate in $B_0$ dell'immagine nella base $B_1$.
non ho capito molto..non è che riesci a spiegarmelo nel mio caso?magari con i numeri e un esempio pratico lo assimilo piu' facilmente. per favore!
La matrice associata all'applicazione lineare nella base $B_0$, che nel
tuo caso è la base canonica, è:
$L_0=((1,0,1),(1,1,0),(0,-1,1))$, se non ho sbagliato i conti.
Ora, come dicevo, $L_1$, che è la matrice associata all'applicazione lineare $L$ nella base $B_1$è
uguale a:
$M^-1L_0M$
$M$ è la matrice di cambiamento di base da $B_1$ a $B_0$.
Le colonne di $M$ sono le coordinate dei vettori della base $B_1$ nella base $B_0$:
$M=((1,0,1),(1,1,0),(0,1,1))$
$M^1$ è la sua inversa, ed è la matrice di cambiamento di base da $B_0$ a $B_1$:
$M^-1=((1/2,1/2, -1/2),(-1/2,1/2,1/2),(1/2,-1/2,1/2))$. (
calcolata a mano... eh! Gauss...)
Prendiamo un vettore qualsiasi, per esempio, in coordinate nella base canonica,v: $v=((0),(1),(2))$.
Le sue coordinate nella base $B_1$ sono: $\hatv=M^-1v$
L'immagine di $v$ nella base canonica è $v"*"=L_0v$.
L'immagine di $v$ nella base $B_1$ è $\hatv"*"=L_1v"*"$.
Ora considera:
$M\hatv=v$
$L_0v=v"*"$
$M^-1v"*"=\hatv"*"$
$\hatv"*"=M^-1L_0Mv$, così $L_1=M^-1L_0M$.
tuo caso è la base canonica, è:
$L_0=((1,0,1),(1,1,0),(0,-1,1))$, se non ho sbagliato i conti.
Ora, come dicevo, $L_1$, che è la matrice associata all'applicazione lineare $L$ nella base $B_1$è
uguale a:
$M^-1L_0M$
$M$ è la matrice di cambiamento di base da $B_1$ a $B_0$.
Le colonne di $M$ sono le coordinate dei vettori della base $B_1$ nella base $B_0$:
$M=((1,0,1),(1,1,0),(0,1,1))$
$M^1$ è la sua inversa, ed è la matrice di cambiamento di base da $B_0$ a $B_1$:
$M^-1=((1/2,1/2, -1/2),(-1/2,1/2,1/2),(1/2,-1/2,1/2))$. (
calcolata a mano... eh! Gauss...)Prendiamo un vettore qualsiasi, per esempio, in coordinate nella base canonica,v: $v=((0),(1),(2))$.
Le sue coordinate nella base $B_1$ sono: $\hatv=M^-1v$
L'immagine di $v$ nella base canonica è $v"*"=L_0v$.
L'immagine di $v$ nella base $B_1$ è $\hatv"*"=L_1v"*"$.
Ora considera:
$M\hatv=v$
$L_0v=v"*"$
$M^-1v"*"=\hatv"*"$
$\hatv"*"=M^-1L_0Mv$, così $L_1=M^-1L_0M$.
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