Quesito di geometria

[Fox_vincy]

Buongiorno a tutti,
Volevo porvi questo quesito:
Qual'è la curva del piano che, in ogni suo punto $*(x,y)*$ con y non nullo, ha pendenza uguale a $*-x/y*$?

Ringrazio anticipatamente chiunque può aiutarmi....

[ficus2002]

"Fox_vincy":Qual'è la curva del piano che, in ogni suo punto $*(x,y)*$ con y non nullo, ha pendenza uguale a $*-x/y*$?

Circonferenza.

[Fox_vincy]

Ti ringrazio per la risposta ma potresti dirmi il motivo, si tratta di una circonferenza qualunque?

[fireball1]

Te ne accorgi subito con un disegno. Se al generico punto $(x,y)$ corrisponde l'angolo $theta$, allora la tangente in $(x,y)$ alla circonferenza forma con l'asse $x$ un angolo pari a $pi/2 + theta$, dunque ha pendenza $tan(pi/2+theta)= - cot(theta)= - x/y$.

[Fox_vincy]

Grazie...

[gugo82]

Ad occhio non sono circonferenze, ma archi di circonferenze di centro [tex]$o=(0,0)$[/tex] tutti contenuti nel semipiano [tex]$y>0$[/tex] o nel semipiano [tex]$y<0$[/tex].

Infatti, se [tex]$y(x)$[/tex] è la funzione che descrive la curva ed [tex]$(x_0,y_0)$[/tex] è un punto per cui tale curva passa, si ha:

[tex]$\begin{cases} y(x)\ y^\prime (x)=-x \\ y(x_0)=y_0 \end{cases}$[/tex];

da cui:

[tex]$\int_{x_0}^x y(\xi )\ y^\prime (\xi )\ \text{d} \xi =-\int_{x_0}^x \xi\ \text{d} \xi$[/tex]

[tex]$\left[ \frac{1}{2}\ y^2(\xi)\right]_{x_0}^x=\frac{1}{2}\ (x_0^2-x^2)$[/tex]

[tex]$y^2(x)-y_0^2=x_0^2-x^2$[/tex]

[tex]$x^2+y^2(x)=y_0^2+x_0^2$[/tex],

quest'ultima essendo l'equazione in forma implicita di un arco di circonferenza.

[Fox_vincy]

Ringrazio gugo82 per la sua spiegazione esauriente