Quesito base ortonormale prodotto scalare canonico
Non riesco a risolvere il seguente quesito:
Sia $phi$ il prodotto scalare canonico su $RR^3$ e $W$ il sottospazio di $RR^3$ di equazioni $W:{ ( x-2y+z=0 ),( 2x-z=0 ):} $
Determinare:
una base di $W$ ortonormale rispetto a $phi$
una rappresentazione cartesiana del complemento ortogonale di $W$
una base di $RR^3$ ortonormale rispetto a $phi$ che contenga un vettore di $W$
sono arrivato a questo punto: allora lo spazio delle soluzioni omogenee riferite a $W$ è $(h, 3/2h, 2h)$ quindi una base di $W$ è $B: (1, 3/2, 2)$ poi mi sono fermato perchè ho pensato che per risolvere il primo punto dovrei ortogonalizzare la base di W in questione ma essendo composta da un singolo vettore non ne posso ricavare una matrice quadrata, forse però è sbagliato proprio il procedimento.
Sia $phi$ il prodotto scalare canonico su $RR^3$ e $W$ il sottospazio di $RR^3$ di equazioni $W:{ ( x-2y+z=0 ),( 2x-z=0 ):} $
Determinare:
una base di $W$ ortonormale rispetto a $phi$
una rappresentazione cartesiana del complemento ortogonale di $W$
una base di $RR^3$ ortonormale rispetto a $phi$ che contenga un vettore di $W$
sono arrivato a questo punto: allora lo spazio delle soluzioni omogenee riferite a $W$ è $(h, 3/2h, 2h)$ quindi una base di $W$ è $B: (1, 3/2, 2)$ poi mi sono fermato perchè ho pensato che per risolvere il primo punto dovrei ortogonalizzare la base di W in questione ma essendo composta da un singolo vettore non ne posso ricavare una matrice quadrata, forse però è sbagliato proprio il procedimento.
Risposte
Per quanto riguarda il primo punto, devi solo trovare il vettore di norma unitaria di quella famiglia.
come si fà?
cioè se parto da una base con tre vettori la diagonalizzo in questo modo (seguendo il libro):
1 costruinsco la matrice corrispondente alla base e la sua trasposta
2 moltiplico la trasposta per la matrice e trovo la matrice di gram
3 applico gauss-lagrange alla gram e trovo la matrice diagonale e una matrice diagonale inferiore
4 moltiplico la matrice trovata al punto 1 per la matrice triangolare e trovo così una matrice i cui vettori sono la base ortogonale del prodotto scalare
5 divido ciascun vettore per la la norma corrispondente (gli elementi della diagonale dellla matrice diagonale sono i quadrati delle norme di cui ho bisogno)
ma con una base con un singolo vettore non posso procedere in questo modo. Che metodo devo utilizzare?
cioè se parto da una base con tre vettori la diagonalizzo in questo modo (seguendo il libro):
1 costruinsco la matrice corrispondente alla base e la sua trasposta
2 moltiplico la trasposta per la matrice e trovo la matrice di gram
3 applico gauss-lagrange alla gram e trovo la matrice diagonale e una matrice diagonale inferiore
4 moltiplico la matrice trovata al punto 1 per la matrice triangolare e trovo così una matrice i cui vettori sono la base ortogonale del prodotto scalare
5 divido ciascun vettore per la la norma corrispondente (gli elementi della diagonale dellla matrice diagonale sono i quadrati delle norme di cui ho bisogno)
ma con una base con un singolo vettore non posso procedere in questo modo. Che metodo devo utilizzare?
Trovi semplicemente la norma in funzione di $h$ e la poni uguale a $1$. Dovresti cercare di vedere il problema meno meccanicamente.
cioè vuoi dire $ || ( W ) ||=1 -> sqrt(h^2+3/2h^2+2h^2)=1 -> sqrt(29/4h^2)=1 -> h/2sqrt(29)=1 -> h=2/sqrt(29) $
quindi una base di $W$ ortonormale a $phi$ sarebbe $B=(2/sqrt(29), 3/sqrt(29), 4/sqrt(29))$
quindi una base di $W$ ortonormale a $phi$ sarebbe $B=(2/sqrt(29), 3/sqrt(29), 4/sqrt(29))$
Quando sotto radice elevi le componenti al quadrato devi farlo correttamente:
$sqrt(h^2 + 9/4h^2 + 4h^2)
Quindi, determinato $h$, devi sostituirlo altrettanto correttamente.
$sqrt(h^2 + 9/4h^2 + 4h^2)
Quindi, determinato $h$, devi sostituirlo altrettanto correttamente.
ho sbagliato solo nel trascrivere mancava $(3/2)^2$ e $(2)^2$ma i conti sono comunque corretti.
per gli altri due punti sapresti aiutarmi?
per gli altri due punti sapresti aiutarmi?
Per il secondo punto devi imporre la condizione di ortogonalità tra il generico $(x,y,z)$ e un vettore di $W$, per esempio $(2,3,4)$. Per il terzo punto devi determinare due vettori linearmente indipendenti del nuovo sottospazio, magari ortogonali e senza troppi procedimenti meccanici, e infine normalizzarli.
per il secondo punto cosa intendi per condizione di ortonormalità? io sò solo che il complemento ortogonale del generico sottospazio $U$ è $U^T$ e che $UnnU^T=0$. Ho provato a moltiplicare il generico vettore $(x, y, z)$ per un vettore di $W$ $v_W(2, 3, 4)$ ottenendo $2x+3y+4z=0$ intendevi questo?
Adesso ricava una delle tre componenti in funzione delle altre due, le puoi vedere come parametri $h$ e $k$. Quindi cerca di determinare due coppie di valori che rendano i vettori corrispondenti ortogonali, non dico di procedere per tentativi, ma nemmeno con procedimenti troppo meccanici.
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