Quesiti di algebra lineare.
Data una matrice a scala S di m righe e n colonne.
Come faccio a dimostrare che le colonne di S corrispondenti ai pivot di S sono una base per l'immagine di S?
Come faccio a dimostrare che le colonne di S corrispondenti ai pivot di S sono una base per l'immagine di S?
Risposte
tali colonne sono linearmente indipendenti. poiché il rango è pari al numero di tali colonne, tutte le altre sono linearmente dipendenti. poiché l'immagine di un qualunque vettore v attraverso S, ovvero il vettore Sv, è combinazione delle colonne di S attraverso i coefficienti v_i, si ha che tale combinazione lineare è esprimibile in funzioni delle colonne linearmente indipendenti, ovvero quelle corrispondenti ai pivot. poiché questo vale per ogni vettore, tali colonne sono una base per l'immagine di S.
Grazie!
Avrei un'altra domanda. Se data una matrice associata ad un'applicazione lineare (facciamo da R^n a R^m, per semplicità), voglio studiarmi il kernel, devo ovviamente ridurre la matrice a scala e porre il vettore nullo come vettore dei termini noti. Se il sistema siffatto è incompatibile, cioè non ha soluzioni, è giusto dire che il kernel è l'insieme vuoto? Questo influisce anche sull'immagine di questa applicazione lineare (mi pare di no, ma voglio essere sicuro)?
Avrei un'altra domanda. Se data una matrice associata ad un'applicazione lineare (facciamo da R^n a R^m, per semplicità), voglio studiarmi il kernel, devo ovviamente ridurre la matrice a scala e porre il vettore nullo come vettore dei termini noti. Se il sistema siffatto è incompatibile, cioè non ha soluzioni, è giusto dire che il kernel è l'insieme vuoto? Questo influisce anche sull'immagine di questa applicazione lineare (mi pare di no, ma voglio essere sicuro)?
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