Quanto possono variare le carte di fibrati vettoriali locali in un atlante?
Ciao. Il mio libro definisce un fibrato vettoriale locale (nel seguito, un fibrato) come il prodotto \( V\times F \) di un aperto \( V \) di \( \mathbb R^n \) con uno spazio vettoriale (reale, di dimensione finita) \( F \). Definisce poi un isomorfismo di fibrati come una funzione \( \alpha\colon V_1\times F_1\to V_2\times F_2 \) di classe \( C^\infty \) tale che \( \alpha(x,\eta) = (\alpha_1(x),\alpha_2(x)\circ \eta) \) per due funzioni \( \alpha_1\colon V_1\to V_2 \) e \( \alpha_2\colon V\to \hom(F_1,F_2) \), dove \( \hom(F_1,F_2) \) è lo spazio delle applicazioni lineari da \( F_1 \) a \( F_2 \).
A questo punto dà la definizione di carta locale di fibrati su un insieme \( S \), dicendo che una tale carta è una coppia \( U,\phi \) dove \( U\subset S \) è un sottoinsieme e \( \phi \) è una biiezione di \( U \) con un fibrato.
Ora, una collezione \( \mathscr B \) di carte locali di fibrati su \( S \) tali che \( S = \bigcup_{(U,\phi)\in \mathscr B}U \) e che rispettano alcune condizioni di compatibilità è detta un atlante di carte locali di fibrati.
Fin qui è tutto ok, solo che mi sto chiedendo quanto potrebbe essere un problema se io fissassi una volta per tutte la dimensione \( n \) (ed eventualmente lo spazio vettoriale \( F \)), e definissi un atlante "di dimensione \( n \)" semplicemente come una collezione di carte tutte a valori "in fibrati \( V\times F \) al variare di \( V\subset \mathbb R^n \) aperto".
Infatti, mi sembra di capire che se \( M \) è un varietà di dimensione \( n \), allora \( M \) ha per ogni punto uno spazio tangente \( n \)-dimensionale. Siccome l'idea di fibrato astrae in modo abbastanza ovvio dal fibrato tangente, mi sa che non è un gran problema effettuare la restrizione della quale parlo su. Però prima voglio chiedere a chi traffica di più con questi oggetti.
EDIT. Ho modificato abbastanza tanto il post, perché era scritto male.
A questo punto dà la definizione di carta locale di fibrati su un insieme \( S \), dicendo che una tale carta è una coppia \( U,\phi \) dove \( U\subset S \) è un sottoinsieme e \( \phi \) è una biiezione di \( U \) con un fibrato.
Ora, una collezione \( \mathscr B \) di carte locali di fibrati su \( S \) tali che \( S = \bigcup_{(U,\phi)\in \mathscr B}U \) e che rispettano alcune condizioni di compatibilità è detta un atlante di carte locali di fibrati.
Fin qui è tutto ok, solo che mi sto chiedendo quanto potrebbe essere un problema se io fissassi una volta per tutte la dimensione \( n \) (ed eventualmente lo spazio vettoriale \( F \)), e definissi un atlante "di dimensione \( n \)" semplicemente come una collezione di carte tutte a valori "in fibrati \( V\times F \) al variare di \( V\subset \mathbb R^n \) aperto".
Infatti, mi sembra di capire che se \( M \) è un varietà di dimensione \( n \), allora \( M \) ha per ogni punto uno spazio tangente \( n \)-dimensionale. Siccome l'idea di fibrato astrae in modo abbastanza ovvio dal fibrato tangente, mi sa che non è un gran problema effettuare la restrizione della quale parlo su. Però prima voglio chiedere a chi traffica di più con questi oggetti.
EDIT. Ho modificato abbastanza tanto il post, perché era scritto male.
Risposte
\(\eta\) è un vettore? Se sì, stai scrivendo \(\alpha_2(x)(\eta)\equiv\alpha_2(x)\circ\eta\)!?
Sì, \( \eta\in F \) (la notazione l'ho scelta "perché di solito \( \xi \) appartiene ad \( E \) e \( \xi \) e \( \eta \) di solito vanno in coppia"). Inoltre, se \( T\colon E\to F \) è un'applicazione lineare e \( \xi\in E \) è un vettore, scrivo \( T\circ \xi \) per \( T(\xi) \). Quindi sì, era per non mettere troppe parentesi.
Ho anche un'altra domanda. Ho cercato un po' ovunque ma la definizione di fibrato che trovo è sempre diversa da quella che ho riportato qui (in realtà non l'ho ancora riportata: un fibrato per me è una coppia \( E = (S,\mathscr V) \) di un insieme \( S \) e di un atlante massimale di fibrati). Questa definizione sembra essere equivalente alla definizione "standard" di fibrato, quindi mi chiedo: perché l'Abraham & Marsden dà questa e non quella standard?
Continuiamo: \(\alpha_2\) ha per dominio \(V_1\); ma non chiedi alcuna ipotesi? Tipo continuità, differenziabilità, liscezza, altro... Mi sembra un po' strano! 
La questione qui è un po' spinosa. Un morfismo di fibrati da \( V_1\times F_1 \) a \( V_2\times F_2 \) (con \( V_1\subset \mathbb R^n \), \( V_2\subset \mathbb R^n \) aperti e \( F_1 \), \( F_2 \) spazi vettoriali di dimensione finita) dovrebbe essere definito come una funzione \( \phi\colon V_1\times F_1\to V_2\times F_2 \) tale che esistano due funzioni \( \alpha_1\colon V_1\to V_2 \) e \( \alpha_2\colon V_1\to \hom(F_1,F_2) \) di classe \( C^k \) (o, se vuoi, di classe \( C^\infty \)) tali che ecc. Qui \( \alpha_2 \) è di classe \( C^k \) nel senso che è differenziabile come funzione di spazi normati (quando \( \hom(F_1,F_2) \) è equipaggiato con la norma operatoriale indotta dalle uniche norme possibili su \( F_1 \) ed \( F_2 \)), e la funzione \( \mathrm{d}\alpha_2 \) che spara un punto \( x\in V_1 \) nel differenziale \( \mathrm{d}\alpha_2(x) \) di \( \alpha_2 \) calcolato in \( x \) è a sua volta di classe \( C^{k - 1} \).
Tuttavia, accade che \( \phi \) ha un inversa che è anch'essa un morfismo di fibrati se e solo se vale quanto ho scritto all'inizio (e cioè che \( \phi \) è essa stessa di classe \( C^k \) o \( C^\infty \), ed esistono \(\alpha_1\) e \( \alpha_2 \) tali che ecc.). La dimostrazione c'è in Manifolds, Tensor Analysis and Applications degli autori che cito nell'altro post.
Tuttavia, accade che \( \phi \) ha un inversa che è anch'essa un morfismo di fibrati se e solo se vale quanto ho scritto all'inizio (e cioè che \( \phi \) è essa stessa di classe \( C^k \) o \( C^\infty \), ed esistono \(\alpha_1\) e \( \alpha_2 \) tali che ecc.). La dimostrazione c'è in Manifolds, Tensor Analysis and Applications degli autori che cito nell'altro post.
Ora che mi sono chiarito la definizione:
Ho risposto bene?
"marco2132k":andrebbe bene se avessi io capìto bene e te imponessi delle condizioni di compatibilità sulle intersezioni degli insiemi aperti che banalizzano il fibrato vettoriale!
[...] definissi un atlante "di dimensione \( n \)" semplicemente come una collezione di carte tutte a valori "in fibrati \( V\times F \) al variare di \( V\subset \mathbb R^n \) aperto". [...]
Ho risposto bene?
Mi rispondo che non ha molto senso quello che voglio fare. Mi sembra infatti che per le varietà non abbia molto senso restringersi a considerare carte a valori in uno spazio euclideo di dimensione fissata, tanto (almeno per le varietà C^infty) è facile far vedere che la dimensione, quando è opportuno che sia costante, lo è.
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