Quanti punti e rette in un piano?
Ciao, amici! Definendo un piano come da assiomi di Hilbert, senz'altro esso contiene un punto (I 4). Non mi è affatto chiaro se però un piano contenga sempre almeno tre punti oppure no.
Un altra questione che mi assilla è se sia o no sempre possibile trovare una perpendicolare ad un piano passante per un punto dato, secondo tali assiomi, analogamente a come è possibile nel piano trovare una retta perpendicolare ad un'altra e passante per un punto dato, esterno a tale retta od appartenente ad essa*...
Qualcuno è così buono da fugare qualche mio dubbio?
Tante grazie quanti sono i punti di un piano di $\mathbb{R}^2$!!!
*Come si vede dalle note che seguono il teorema 15, p. 70 dell'ed. Franco Angeli-Bicocca del 2009, traduzione dell'edizione del 1968 curata da Bernays.
Un altra questione che mi assilla è se sia o no sempre possibile trovare una perpendicolare ad un piano passante per un punto dato, secondo tali assiomi, analogamente a come è possibile nel piano trovare una retta perpendicolare ad un'altra e passante per un punto dato, esterno a tale retta od appartenente ad essa*...
Qualcuno è così buono da fugare qualche mio dubbio?
Tante grazie quanti sono i punti di un piano di $\mathbb{R}^2$!!!
*Come si vede dalle note che seguono il teorema 15, p. 70 dell'ed. Franco Angeli-Bicocca del 2009, traduzione dell'edizione del 1968 curata da Bernays.
Risposte
1.3 dovrebbe rispondere alla prima domanda.
rette e piani perpendicolari nello spazio sono regolati da una serie di teoremi, non solo assiomi...
rette e piani perpendicolari nello spazio sono regolati da una serie di teoremi, non solo assiomi...
"adaBTTLS":
1.3 dovrebbe rispondere alla prima domanda.
Ah, ecco... Credevo che l'assioma I 3 significasse solo che esiste nella geometria definita da tali assiomi, nello spazio, ma non necessariamente per ogni piano, un punto che non giace sulla retta cui appartengono gli altri due. Peccato che ai tempi di Hilbert la notazione formale logica non fosse onnipresente come oggi... i Grundlagen sarebbero stati un capolavoro addirittura maggiore.
"adaBTTLS":Sì, sì, intendevo teoremi che siano solo derivabili da quegli assiomi. Quindi, se per ogni piano ci sono tre punti non collineari, direi che si possa effetturare la costruzione di una perpendicolare come intersezione di due piani perpendicolari a due rette distinte passanti per due coppie di quei punti, costruzione a sua volta possibile a partire appunto dagli assiomi I, II, III, e IV.
rette e piani perpendicolari nello spazio sono regolati da una serie di teoremi, non solo assiomi...
Grazie di cuore: mi hai tolto un dubbio atroce che mi porto appresso da quando ho cominciato i Fondamenti della Geometria!!!
[ot]
La logica matematica era nel suo massimo splendore quando quel libro fu pubblicato. Adesso non avrebbe minimamente lo stesso risalto. E sicuramente lo avrebbe avuto ancora meno se fosse stato scritto in un linguaggio da iniziati. Il libro matematico forse più letto e conosciuto al mondo sono gli Elementi di Euclide. Sappiamo che ha dei difetti e si conoscono da ormai diversi secoli. Eppure è ancora tenuto in grande considerazione ed è, almeno a mio parere, in parte dovuto alla sua accessibilità. Può essere letto e compreso anche da una persona con poche conoscenze matematiche. E secondo me Hilbert era della stessa opinione e il linguaggio usato non è simbolico come avrebbe potuto per scelta e non per ragioni storiche.[/ot]
"DavideGenova":
Peccato che ai tempi di Hilbert la notazione formale logica non fosse onnipresente come oggi... i Grundlagen sarebbero stati un capolavoro addirittura maggiore.
La logica matematica era nel suo massimo splendore quando quel libro fu pubblicato. Adesso non avrebbe minimamente lo stesso risalto. E sicuramente lo avrebbe avuto ancora meno se fosse stato scritto in un linguaggio da iniziati. Il libro matematico forse più letto e conosciuto al mondo sono gli Elementi di Euclide. Sappiamo che ha dei difetti e si conoscono da ormai diversi secoli. Eppure è ancora tenuto in grande considerazione ed è, almeno a mio parere, in parte dovuto alla sua accessibilità. Può essere letto e compreso anche da una persona con poche conoscenze matematiche. E secondo me Hilbert era della stessa opinione e il linguaggio usato non è simbolico come avrebbe potuto per scelta e non per ragioni storiche.[/ot]
[ot]@DavideGenova,
"ai tempi nostri" esistono alcune formalizzazioni/assiomatizzazioni a livello logico degli elementi di Euclide.. si è parlato in parte qui, anche se poi la discussione è andata verso altra direzione (non mi meraviglio in effetti..
) .. ma anche "gli assiomi di Tarski".. Qui trovi una interessante discussione sui moderni approcci alla geometria euclidea .. di recente però ho scoperto una "set-theoretic version of Hilbert’s axioms" (forse è quello che più ti potrebbe interessare 
) trovandola interessante almeno formalmente parlando!
Saluti
[/ot]
"DavideGenova":
Peccato che ai tempi di Hilbert la notazione formale logica non fosse onnipresente come oggi... i Grundlagen sarebbero stati un capolavoro addirittura maggiore.
"ai tempi nostri" esistono alcune formalizzazioni/assiomatizzazioni a livello logico degli elementi di Euclide.. si è parlato in parte qui, anche se poi la discussione è andata verso altra direzione (non mi meraviglio in effetti..
) .. ma anche "gli assiomi di Tarski".. Qui trovi una interessante discussione sui moderni approcci alla geometria euclidea .. di recente però ho scoperto una "set-theoretic version of Hilbert’s axioms" (forse è quello che più ti potrebbe interessare ) trovandola interessante almeno formalmente parlando! Saluti
[/ot]
"DavideGenova":Sì, sì, intendevo teoremi che siano solo derivabili da quegli assiomi. Quindi, se per ogni piano ci sono tre punti non collineari, direi che si possa effetturare la costruzione di una perpendicolare come intersezione di due piani perpendicolari a due rette distinte passanti per due coppie di quei punti, costruzione a sua volta possibile a partire appunto dagli assiomi I, II, III, e IV.
[quote="adaBTTLS"]rette e piani perpendicolari nello spazio sono regolati da una serie di teoremi, non solo assiomi...
Grazie di cuore: mi hai tolto un dubbio atroce che mi porto appresso da quando ho cominciato i Fondamenti della Geometria!!![/quote]
prego!
Ti scrivo in ordine gli enunciati dei teoremi tratti dal vecchio glorioso “Cateni-Fortini-Bernardi”:
TEOREMA. Se si conducono due perpendicolari ad una retta $r$ in un suo punto $Q$, anche ogni altra retta che passi per $Q$ e giaccia nel piano $pi$ delle prime due è perpendicolare alla $r$.
TEOREMA. Tutte le perpendicolari ad una retta $r$ in un suo punto $Q$ giacciono su un medesimo piano $pi$.
DEFINIZIONE. Una retta ed un piano che si intersecano in un punto Q si dicono perpendicolari se la retta è perpendicolare a tutte le rette del piano passanti per Q. Il punto Q viene detto piede della perpendicolare.
TEOREMA. Per ogni punto dello spazio si può condurre uno ed un sol piano $pi$ perpendicolare ad una assegnata retta $r$.
TEOREMA. Per ogni punto dello spazio si può condurre una ed una sola retta perpendicolare ad un piano assegnato.
TEOREMA DELLE TRE PERPENDICOLARI. Se dal piede $P$ di una retta $r$ perpendicolare ad un piano $alpha$ si conduce la perpendicolare $PA$ ad una retta $s$ di $alpha$, allora la $s$ è perpendicolare al piano delle rette $r$ e $PA$.
TEOREMA. Due rette $r$, $s$ perpendicolari ad uno stesso piano $alpha$ sono parallele.
TEOREMA (inverso del precedente). Se due rette $r$, $s$ sono parallele, ogni piano $alpha$ perpendicolare all’una è perpendicolare anche all’altra.
COROLLARIO. Due rette $a$, $b$, parallele ad una retta $c$, sono parallele fra loro (proprietà transitiva del parallelismo fra rette nello spazio).
Vedi tu se l’impianto è coerente con gli assiomi che ti interessano.
ciao e buon lavoro!
[ot]
Personalmente trovo molto più semplice un testo che usi notazione e linguaggio molto formalizzati rispetto ad una presentazione più discorsiva o "intuitiva" in cui mi capita di non capire di che cosa si stia parlando. Mi è capitato di seguire capitoli di libri poco "da matematici" senza avere la sicurezza che si stessero formulando assunti su un campo generico, quello complesso o solo quello reale...
Se poi, oltre all'inequivocabilità dei formalismi, si presentano esempi o casi particolari tratti da contesti più "intuitivi", come per esempio dalla geometria elementare euclidea o altro, è meglio.
@garnak.olegovitc: Molto, molto interessante![/ot]
$\infty$ grazie a tutti!!!
"apatriarca":Molto interessante. Che ignorante che sono! Credevo che la notazione formale non fosse ancora in voga perché da troppo poco tempo messa a punto (Peano, Russell,...)
Hilbert era della stessa opinione e il linguaggio usato non è simbolico come avrebbe potuto per scelta e non per ragioni storiche.
Personalmente trovo molto più semplice un testo che usi notazione e linguaggio molto formalizzati rispetto ad una presentazione più discorsiva o "intuitiva" in cui mi capita di non capire di che cosa si stia parlando. Mi è capitato di seguire capitoli di libri poco "da matematici" senza avere la sicurezza che si stessero formulando assunti su un campo generico, quello complesso o solo quello reale...
Se poi, oltre all'inequivocabilità dei formalismi, si presentano esempi o casi particolari tratti da contesti più "intuitivi", come per esempio dalla geometria elementare euclidea o altro, è meglio.
@garnak.olegovitc: Molto, molto interessante![/ot]
"adaBTTLS":Grazie, che bel compendio!!! Mi sono divertito ad esaminare questi teoremi e direi, sperando di non dire scemenze, che tutti siano dimostrabili sulla base dei soli assiomi I 1-3, II, III, IV, senza assiomi di continuità.
Vedi tu se l’impianto è coerente con gli assiomi che ti interessano.
$\infty$ grazie a tutti!!!
prego!
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