Quante basi ci sono questo generatore di \( \mathbb Q^3 \)?
\( \newcommand{\pt}[3]{\Bigl(\begin{smallmatrix}#1\\#2\\#3\end{smallmatrix}\Bigr)} \)Ciao.
Trovare una base è banale: dato un qualsiasi sottoinsieme finito \( E \) di uno spazio vettoriale, se esso contiene almeno un vettore non nullo \( l_1 \), l'insieme \( E^\prime = \{l_1\} \) può essere portato ad un sottoinsieme massimale che ha per span lo stesso spazio generato da \( E \). Nel caso in questione, scelgo come mio vettore non nullo preferito \( \pt110 \), e vedo che
I. \( \pt2{-3}0 \) e \( \pt110 \) non sono proporzionali, i.e., \( E^{\prime\prime} = E^\prime\cup\left\{\pt2{-3}{0}\right\} \) è linearmente indipendente;
II. \( \pt0{-1}4 \) non è combinazione lineare di \( \pt2{-3}0 \) e \( \pt110 \);
allora, dato che ho tre vettori di \( \mathbb Q^3 \) linearmente indipendenti, questi devono generarlo.
Il prof. scrive, invece, un generico vettore \( \pt abc \) di \( \mathbb Q^3 \) come combinazione lineare dei vettori dati, e verifica che questi effettivamente generano tutto lo spazio. In base a che cosa afferma che "tutte le basi estratte dai vettori dati si ottengono aggiungendo al vettore \( \pt110 \) due tra i tre vettori che compaiono nella relazione di dipendenza lineare[nota]La "relazione di dipendenza lineare" è
\[
\pt abc = x_1\pt2{-3}0 + x_2\pt1{-2}1 + x_3\pt110 + x_4\pt0{-1}{4}
\] da cui si ottiene
\[
\begin{align*}
x_1 &= \frac a5 - \frac b5 - \frac c10\\
x_2 &= 0\\
x_3 &= \frac{3a}5 + \frac{2b}5 + \frac c5\\
x_4 &= \frac c4
\end{align*}
\][/nota]"?
Trovare tutte le basi di \( \mathbb Q^3 \) contenute in \( E = \left\{\pt{2}{-3}{0},\pt{1}{-2}{1},\pt{1}{1}{0},\pt{0}{-1}{4}\right\}\subset\mathbb Q^3 \), dove \( \mathbb Q^3 \) è un \( \mathbb Q \)-spazio vettoriale.
Trovare una base è banale: dato un qualsiasi sottoinsieme finito \( E \) di uno spazio vettoriale, se esso contiene almeno un vettore non nullo \( l_1 \), l'insieme \( E^\prime = \{l_1\} \) può essere portato ad un sottoinsieme massimale che ha per span lo stesso spazio generato da \( E \). Nel caso in questione, scelgo come mio vettore non nullo preferito \( \pt110 \), e vedo che
I. \( \pt2{-3}0 \) e \( \pt110 \) non sono proporzionali, i.e., \( E^{\prime\prime} = E^\prime\cup\left\{\pt2{-3}{0}\right\} \) è linearmente indipendente;
II. \( \pt0{-1}4 \) non è combinazione lineare di \( \pt2{-3}0 \) e \( \pt110 \);
allora, dato che ho tre vettori di \( \mathbb Q^3 \) linearmente indipendenti, questi devono generarlo.
Il prof. scrive, invece, un generico vettore \( \pt abc \) di \( \mathbb Q^3 \) come combinazione lineare dei vettori dati, e verifica che questi effettivamente generano tutto lo spazio. In base a che cosa afferma che "tutte le basi estratte dai vettori dati si ottengono aggiungendo al vettore \( \pt110 \) due tra i tre vettori che compaiono nella relazione di dipendenza lineare[nota]La "relazione di dipendenza lineare" è
\[
\pt abc = x_1\pt2{-3}0 + x_2\pt1{-2}1 + x_3\pt110 + x_4\pt0{-1}{4}
\] da cui si ottiene
\[
\begin{align*}
x_1 &= \frac a5 - \frac b5 - \frac c10\\
x_2 &= 0\\
x_3 &= \frac{3a}5 + \frac{2b}5 + \frac c5\\
x_4 &= \frac c4
\end{align*}
\][/nota]"?
Risposte
Se usi gauss-jordan realizzi che qualsiasi terna di vettori va bene (prova a metterla in forma triangolare superiore e la commentiamo assieme).
L'affermazione del prof. è vera ma (in questo caso) non è esclusiva...è solo che il vettore più "bello" di solito si tiene, tutto qua.
L'affermazione del prof. è vera ma (in questo caso) non è esclusiva...è solo che il vettore più "bello" di solito si tiene, tutto qua.
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