Quando \( \bigcup_{x\in E}\left[0,x\right] \) è un chiuso per \( E\subset\left]0,+\infty\right[ \)

[marco2132k]

Ciao! Sia \( E \) un sottoinsieme arbitrario (eventualmente infinito) limitato della semiretta \( \left]0,+\infty\right[ \). Preso \( \mathbb{R} \) con la topologia usuale (cfr. def. data qui se neccessario), voglio provare che

1) l'unione \( \bigcup_{x\in E}\left[0,x\right] \) è un intervallo di \( \mathbb{R} \), chiuso solo se \( E \) ha massimo;

2) se \( E \) ha un minorante strettamente positivo allora l'intersezione \( \bigcap_{x\in E}\left]0,x\right[ \) è un intervallo, aperto se e solo se \( E \) ha minimo.

Che vogliono dire di preciso queste proprietà? Sono solo una prova un po' astrusa del fatto che a volte unioni e intersezioni infinite di rispettivamente chiusi e aperti danno rispettivamente ancora un chiuso e ancora un aperto?

Premetto la definizione di intervallo reale che ho in mente: chiamo intervallo reale ogni sottoinsieme \( I \) di \( \mathbb{R} \) tale che per ogni \( a \), \( b \) di \( I \), con \( a
Dimostrazione.
1) Dico \( \bigcup_{x\in E}[0,x] \) è l'intervallo \( \left[0,\max{E}\right] \) quando \( E \) abbia massimo, e \( \left[0,\sup{E}\right[ \) quando non ce l'abbia. La prima è immediata, la seconda un po' meno, perché entrano in mezzo le proprietà dell'estremo superiore: se un \( a \) è compreso tra zero e \( \sup{E} \), allora esiste \( x\in E \) tale che \( a
[size=85]Di fatto, potrei anche dimostrare che \( \bigcup_{x\in E}[0,x] \) è un intervallo "a priori", perché se \( a \) e \( b \) sono elementi di quell'insieme, allora \( b-a \) è compreso tra zero e \( b \), ossia tra zero e quell'\( x\in E \) tale che \( 0\leqq b\leqq x \).[/size]

Il fatto che unendo intervalli chiusi si possa ottenere un intervallo limitato e aperto a destra mi dà alquanto fastidio.

2) Mi sembra analogo al precedente: l'intersezione \( \bigcap_{x\in E}]0,x[ \) dovrebbe essere l'intervallo \( \left]0,\min{E}\right[ \) nel caso in cui esiste \( \min{E} \), altrimenti \( \left]0,\inf{E}\right] \) (non vuoto, ché qualcosa al suo interno è garantito dalle ipotesi). La prima è ancora banale, la seconda dovrebbe derivare dal fatto che preso un \( 0
Come è andato?

[thawra69]

Be mi sembra corretto, anche se e' una questione piuttosto semplice. Vedi Soardi

[otta96]

1) Bene.

"marco2132k":Il fatto che unendo intervalli chiusi si possa ottenere un intervallo limitato e aperto a destra mi dà alquanto fastidio.

E perché mai?

dal fatto che preso un \( 0
A cosa è servito dire questa cosa? Poi non l'hai usata, comunque sembra che tu abbia capito come funzionano queste questioni.

[marco2132k]

Grazie ad entrambi per aver controllato.

"otta96":A cosa è servito dire questa cosa?

In 2) per provare che l'intervallo \( \left[0,\inf{E}\right] \) è contenuto in \( \bigcap_{x\in E}]0,x[ \), ho usato il fatto (non credo ci siano altri modi in realtà) che un \( a\in\left]0,\inf{E}\right] \) è necessariamente minore di ogni \( x \) di \( E \), per la proprietà transitiva (è \( \inf{E}
Capisco il motivo per cui limitare gli aperti a intersezioni finite (o i chiusi a unioni finite), però è una cosa a cui mi fa comunque strano pensare (in questo caso almeno): in 1) sto di fatto allargando l'intervallo \( [0,x] \) man mano che \( x \) si avvicina a \( \sup{E} \): la mia testa per ora dice che alla fine dovrei ritrovarmi con \( \left[0,\sup{E}\right] \)!

[marco2132k]

@arnett Corretto, grazie!

[fmnq]

"marco2132k":\( \left]0,\inf{E}\right] \) (non vuoto, ché qualcosa al suo interno è garantito dalle ipotesi).

Credo che se $E=]0,1]$, l'insieme \( \left]0,\inf{E}\right] \) sia vuoto.

[marco2132k]

"fmnq":Credo che se $ E=]0,1] $, l'insieme \( \left]0,\inf{E}\right] \) sia vuoto.

In 2) mi chiede esplicitamente che \( E \) abbia un minorante strettamente positivo.