Quando \(0\) è autovalore di \(f\)?

[kaspar1]

Ho una lineare \(f : V \to V\), dove \(V\) è uno spazio vettoriale su campo \(k\). La domanda del titolo.
\(0\) è autovalore di \(f\) se e solo se esiste almeno un \(v \in V \setminus \{0\}\) tale che \[f(v)=0v=O\] dove \(O\) è il vettore nullo. Vale a dire che \(\ker f\) contiene almeno un vettore non nullo oltre al vettore nullo. Il che equivale a dire che \(f\) non è invertibile. Quindi concludo così: \(0\) è autovalore di \(f\) se e solo se \(f\) non è invertibile. È giusta ed esauriente come risposta ad una domanda aperta?

[solaàl]

Manca il pezzo seguente: \(\ker f \neq 0\) se e solamente se \(f\) non è iniettiva; ma ora una mappa lineare \(f : V \to V\) è iniettiva se e solo se è suriettiva (per la formula delle dimensioni: \(\dim V = \dim \ker f + \dim \text{im } f = K+I\); $K=0$ se e solo se \(I=\dim V\)) quindi se e solo se \(f\) è un isomorfismo.

[kaspar1]

"Sergio":Non è iniettiva (non è invertibile anche se suriettiva).

Ma dato che le dimensioni di dominio e codominio (che coincidono) sono uguali e finite, allora iniettività e suriettività si coimplicano. O no? Oppure ho capito male ciò che vuoi dirmi...

[kaspar1]

@solaàl, mi sembra che ci sia qualche "non" di troppo...

[solaàl]

No, cera un uguale invece che un diverso...

[Bokonon]

"kaspar":Vale a dire che \(\ker f\) contiene almeno un vettore non nullo oltre al vettore nullo.

Ma questo è ciò che dobbiamo dimostrare...insieme al fatto che un vettore di $Ker(f)$ è collegato all'autovalore 0.

Io userei le definizioni e partirei con due casi.
a) $dim[Ker(f)]=0 rArr f(v)=0$ se e solo se $v=O$
Ma se v fosse un autovettore, allora $f(v)=lambdav=lambdaO=O$
Il vettore nullo non è un autovettore per definizione e anche se lo fosse sarebbe collegato a qualsiasi $lambdainRR$. Un'assurdità.
b) $dim[Ker(f)]>0 rArr EE v!=O$ tale che $f(v)=O$
Per definizione v è un autovettore se $f(v)=O=lambdav$
Per cui dalle assunzioni fatte $lambda=0$

[kaspar1]

Non ho capito la tua obiezione onestamente, scusami. La definizione che a lezione mi è stata data è questa: uno scalare \(\lambda \in k\) è autovalore di \(f : V \to V\) quando esiste un \(v \in V\) non nullo per cui \(f(v)=\lambda v\). Magari è la definizione che è leggermente diversa... Credo di non aver fatto altro che usare biecamente la definizione.

[Bokonon]

La domanda è quando 0 è un autovalore di f?
Tu hai risposto alla domanda dimostrare che se 0 è un autovalore di f, allora $dim[ker(f)]>0$

[Indrjo Dedej]

In realtà ci sarebbero dei "se e solo se" in giro... Quindi ti avrebbe dimostrato pure l'inverso.