Quali dei seguenti sottoinsiemi sono basi di u+w
in questo tipo di esercizio io mi trovo prima u+w una volta trovato u+w cosa devo fare?
estrovo che u+w è uguale a x+z+t=0 e devo vedere se il sottospazio(1,1,1,0,)(0,2,1,1)(1,3,1,1) è base cosa devo fare?
estrovo che u+w è uguale a x+z+t=0 e devo vedere se il sottospazio(1,1,1,0,)(0,2,1,1)(1,3,1,1) è base cosa devo fare?
Risposte
Devi verificare due cose:
- che la dimensione dello spazio generato da quei tre vettori coincida con la dimensione di U+W,
- che quei tre vettori appartengano a U+W (ovvero soddisfino la sua equazione).
- che la dimensione dello spazio generato da quei tre vettori coincida con la dimensione di U+W,
- che quei tre vettori appartengano a U+W (ovvero soddisfino la sua equazione).
"Martino":
Devi verificare due cose:
- che la dimensione dello spazio generato da quei tre vettori coincida con la dimensione di U+W,
- che quei tre vettori appartengano a U+W (ovvero soddisfino la sua equazione).
ti chiedo per favore di fare lo svolgimento
Quei vettori li metti in riga e formi una matrice 3x4, devi controllare che il suo rango è 3 con il teorema degli orlati.
Si vede subito che il minore di ordine 3 costituito dalle prime 3righe e le prime 3 colonne ha determinate non nullo, quindi il rango della matrice è 3 e i vettori sono lin. ind. e quindi una base di U+W
Si vede subito che il minore di ordine 3 costituito dalle prime 3righe e le prime 3 colonne ha determinate non nullo, quindi il rango della matrice è 3 e i vettori sono lin. ind. e quindi una base di U+W
Lo svolgimento riguarda i concetti basilari dell'algebra lineare.
Come ho detto, devi verificare due cose:
- che la dimensione dello spazio generato da quei tre vettori coincida con la dimensione di U+W.
Per fare questo puoi:
1) constatare che lo spazio determinato da x+z+t=0 ha dimensione 3 (essendo determinato da una equazione lineare omogenea non nulla).
2) andare a calcolare la dimensione del sottospazio generato da (1,1,1,0), (0,2,1,1), (1,3,1,1). Per fare questo puoi innanzitutto verificare se sono tra loro indipendenti (in tal caso la dimensione è 3, in caso contrario è minore di 3). Per fare questo poni che una loro combinazione lineare sia zero e vai a verificare se ciò debba implicare che tutti e tre i coefficienti siano zero (ripeto, questo procedimento è basilare nell'ambito dell'algebra lineare):
a(1,1,1,0) + b(0,2,1,1) + c(1,3,1,1) = 0
se e solo se
a+c = 0
a+2b+3c = 0
a+b+c = 0
b+c=0
Come vedi l'unica soluzione è a=b=c=0, quindi i tre vettori sono linearmente indipendenti, quindi generano uno spazio di dimensione 3.
3) constatare che tali due dimensioni coincidono.
- che quei tre vettori appartengano a U+W (ovvero soddisfino la sua equazione).
L'equazione è x+z+t=0. Immagino che per te un generico vettore sia (x,y,z,t). Ora, per esempio se prendi (1,1,1,0) e provi a sostituire ottieni 1+1+0=0, cosa falsa, quindi il vettore (1,1,1,0) non appartiene allo spazio determinato da x+z+t=0, e quindi lo spazio generato da (1,1,1,0) e dagli altri due vettori non può coincidere con quello determinato da x+z+t=0 (infatti hai trovato un vettore che sta nel primo ma non nel secondo).
Ovviamente bastava il secondo punto per rendere il primo inutile, ma ho voluto lo stesso fare anche il primo perché in generale bisogna farlo.
Ciao
Edito: Ah, attenzione: non è che un "sottospazio" (di cosa poi? di U+W o di R^4?) possa essere una "base", una base è un opportuno insieme finito (perché lavoriamo in dimensione finita) di vettori - in questo caso questi due concetti non possono coincidere perché siamo in caratteristica 0.
Come ho detto, devi verificare due cose:
- che la dimensione dello spazio generato da quei tre vettori coincida con la dimensione di U+W.
Per fare questo puoi:
1) constatare che lo spazio determinato da x+z+t=0 ha dimensione 3 (essendo determinato da una equazione lineare omogenea non nulla).
2) andare a calcolare la dimensione del sottospazio generato da (1,1,1,0), (0,2,1,1), (1,3,1,1). Per fare questo puoi innanzitutto verificare se sono tra loro indipendenti (in tal caso la dimensione è 3, in caso contrario è minore di 3). Per fare questo poni che una loro combinazione lineare sia zero e vai a verificare se ciò debba implicare che tutti e tre i coefficienti siano zero (ripeto, questo procedimento è basilare nell'ambito dell'algebra lineare):
a(1,1,1,0) + b(0,2,1,1) + c(1,3,1,1) = 0
se e solo se
a+c = 0
a+2b+3c = 0
a+b+c = 0
b+c=0
Come vedi l'unica soluzione è a=b=c=0, quindi i tre vettori sono linearmente indipendenti, quindi generano uno spazio di dimensione 3.
3) constatare che tali due dimensioni coincidono.
- che quei tre vettori appartengano a U+W (ovvero soddisfino la sua equazione).
L'equazione è x+z+t=0. Immagino che per te un generico vettore sia (x,y,z,t). Ora, per esempio se prendi (1,1,1,0) e provi a sostituire ottieni 1+1+0=0, cosa falsa, quindi il vettore (1,1,1,0) non appartiene allo spazio determinato da x+z+t=0, e quindi lo spazio generato da (1,1,1,0) e dagli altri due vettori non può coincidere con quello determinato da x+z+t=0 (infatti hai trovato un vettore che sta nel primo ma non nel secondo).
Ovviamente bastava il secondo punto per rendere il primo inutile, ma ho voluto lo stesso fare anche il primo perché in generale bisogna farlo.
Ciao
Edito: Ah, attenzione: non è che un "sottospazio" (di cosa poi? di U+W o di R^4?) possa essere una "base", una base è un opportuno insieme finito (perché lavoriamo in dimensione finita) di vettori - in questo caso questi due concetti non possono coincidere perché siamo in caratteristica 0.
"Martino":
Lo svolgimento riguarda i concetti basilari dell'algebra lineare.
Come ho detto, devi verificare due cose:
- che la dimensione dello spazio generato da quei tre vettori coincida con la dimensione di U+W.
Per fare questo puoi:
1) constatare che lo spazio determinato da x+z+t=0 ha dimensione 3 (essendo determinato da una equazione lineare omogenea non nulla).
2) andare a calcolare la dimensione del sottospazio generato da (1,1,1,0), (0,2,1,1), (1,3,1,1). Per fare questo puoi innanzitutto verificare se sono tra loro indipendenti (in tal caso la dimensione è 3, in caso contrario è minore di 3). Per fare questo poni che una loro combinazione lineare sia zero e vai a verificare se ciò debba implicare che tutti e tre i coefficienti siano zero (ripeto, questo procedimento è basilare nell'ambito dell'algebra lineare):
a(1,1,1,0) + b(0,2,1,1) + c(1,3,1,1) = 0
se e solo se
a+c = 0
a+2b+3c = 0
a+b+c = 0
b+c=0
Come vedi l'unica soluzione è a=b=c=0, quindi i tre vettori sono linearmente indipendenti, quindi generano uno spazio di dimensione 3.
3) constatare che tali due dimensioni coincidono.
- che quei tre vettori appartengano a U+W (ovvero soddisfino la sua equazione).
L'equazione è x+z+t=0. Immagino che per te un generico vettore sia (x,y,z,t). Ora, per esempio se prendi (1,1,1,0) e provi a sostituire ottieni 1+1+0=0, cosa falsa, quindi il vettore (1,1,1,0) non appartiene allo spazio determinato da x+z+t=0, e quindi lo spazio generato da (1,1,1,0) e dagli altri due vettori non può coincidere con quello determinato da x+z+t=0 (infatti hai trovato un vettore che sta nel primo ma non nel secondo).
Ovviamente bastava il secondo punto per rendere il primo inutile, ma ho voluto lo stesso fare anche il primo perché in generale bisogna farlo.
Ciao
Edito: Ah, attenzione: non è che un "sottospazio" (di cosa poi? di U+W o di R^4?) possa essere una "base", una base è un opportuno insieme finito (perché lavoriamo in dimensione finita) di vettori - in questo caso questi due concetti non possono coincidere perché siamo in caratteristica 0.
scusami ora ti scrivo il vero e proprio esercizio cosi facciamo tutti i chiarimenti e vedendo un esercizio completo è piu facile capire...:
siano u+w i sottospazi di R^4 cosi definiti:U={(x,y,z,t)/x+y+z-t=0 e x-y+2t=0}
e W={(1,1,0,0),(0,2,1,1),(2,0,-1,-1)}
quali dei seguenti sottoinsiemi sono basi di u+w:
(1,1,-2,0),(-1,1,1,1)(0,2,-1,1)
(1,1,-2,0),(-1,1,1,1)(1,0,1,1)
(1,1,-2,0),(-1,1,1,1)(1,3,1,1)(1,1,0,0)
(1,1,-2,0),(-1,1,1,1)
poi
quali dei seguenti vettori appartengono a Uintersecato W
(1,-1,-1,-1)
(1,0,0,-1)
(0,1,1,1)
(1,2,0,1)
ecco l'esercizo integrale
"memphis":
[quote="Martino"]Lo svolgimento riguarda i concetti basilari dell'algebra lineare.
Come ho detto, devi verificare due cose:
- che la dimensione dello spazio generato da quei tre vettori coincida con la dimensione di U+W.
Per fare questo puoi:
1) constatare che lo spazio determinato da x+z+t=0 ha dimensione 3 (essendo determinato da una equazione lineare omogenea non nulla).
2) andare a calcolare la dimensione del sottospazio generato da (1,1,1,0), (0,2,1,1), (1,3,1,1). Per fare questo puoi innanzitutto verificare se sono tra loro indipendenti (in tal caso la dimensione è 3, in caso contrario è minore di 3). Per fare questo poni che una loro combinazione lineare sia zero e vai a verificare se ciò debba implicare che tutti e tre i coefficienti siano zero (ripeto, questo procedimento è basilare nell'ambito dell'algebra lineare):
a(1,1,1,0) + b(0,2,1,1) + c(1,3,1,1) = 0
se e solo se
a+c = 0
a+2b+3c = 0
a+b+c = 0
b+c=0
Come vedi l'unica soluzione è a=b=c=0, quindi i tre vettori sono linearmente indipendenti, quindi generano uno spazio di dimensione 3.
3) constatare che tali due dimensioni coincidono.
- che quei tre vettori appartengano a U+W (ovvero soddisfino la sua equazione).
L'equazione è x+z+t=0. Immagino che per te un generico vettore sia (x,y,z,t). Ora, per esempio se prendi (1,1,1,0) e provi a sostituire ottieni 1+1+0=0, cosa falsa, quindi il vettore (1,1,1,0) non appartiene allo spazio determinato da x+z+t=0, e quindi lo spazio generato da (1,1,1,0) e dagli altri due vettori non può coincidere con quello determinato da x+z+t=0 (infatti hai trovato un vettore che sta nel primo ma non nel secondo).
Ovviamente bastava il secondo punto per rendere il primo inutile, ma ho voluto lo stesso fare anche il primo perché in generale bisogna farlo.
Ciao
Edito: Ah, attenzione: non è che un "sottospazio" (di cosa poi? di U+W o di R^4?) possa essere una "base", una base è un opportuno insieme finito (perché lavoriamo in dimensione finita) di vettori - in questo caso questi due concetti non possono coincidere perché siamo in caratteristica 0.
scusami ora ti scrivo il vero e proprio esercizio cosi facciamo tutti i chiarimenti e vedendo un esercizio completo è piu facile capire...:
siano u+w i sottospazi di R^4 cosi definiti:U={(x,y,z,t)/x+y+z-t=0 e x-y+2t=0}
e W={(1,1,0,0),(0,2,1,1),(2,0,-1,-1)}
quali dei seguenti sottoinsiemi sono basi di u+w:
(1,1,-2,0),(-1,1,1,1)(0,2,-1,1)
(1,1,-2,0),(-1,1,1,1)(1,0,1,1)
(1,1,-2,0),(-1,1,1,1)(1,3,1,1)(1,1,0,0)
(1,1,-2,0),(-1,1,1,1)
poi
quali dei seguenti vettori appartengono a Uintersecato W
(1,-1,-1,-1)
(1,0,0,-1)
(0,1,1,1)
(1,2,0,1)
ecco l'esercizo integrale[/quote]
heiii non ce nessunooooooo
Ciao scusa è che io posso utilizzare il pc solo la mattina e solo durante la settimana 
Il procedimento passaggio per passaggio è lungo e dispendioso, ti do una traccia:
W è generato dai vettori (1,1,0,0), (0,2,1,1), (2,0,-1,-1). Ora, tramite un sistemino ti rendi conto che il terzo vettore eguaglia il doppio del primo meno il secondo. Inoltre i primi due vettori sono tra loro non proporzionali quindi W ha dimensione 2 e una sua base è formata da (1,1,0,0) e (0,2,1,1).
Un vettore (x,y,z,t) sta in W se e solo se è una combinazione lineare di (1,1,0,0) e di (0,2,1,1). In altre parole, se e solo se la matrice
$((x,y,z,t),(1,1,0,0),(0,2,1,1))$
non ha rango massimo. Ciò accade se e solo se tutti i minori di ordine tre si annullano. Annullando i minori di ordine tre trovi le equazioni
$x+2z-y=0$
$z-t=0$
$x+2t-y=0$
Naturalmente la terza dipende dalle prime due. Quindi equazioni che caratterizzano W sono $z=t$ e $y=x+2z$.
Ora, U ha equazioni
$x+y+z=t$
$x-y+2t=0$
W ha equazioni
$x+2z-y=0$
$z=t$
Ancora con un sistemino lineare ti accorgi che la metà della seconda equazione di U meno la metà della prima equazione di W dà come risultato la seconda equazione di W. Siccome $U \ne W$ (te ne puoi accorgere facilmente) ne segue che $U \cap W$ ha dimensione 1 (perché caratterizzato da 3 equazioni indipendenti: le due di U più la prima di W). Dalla formula delle dimensioni allora, $dim(U)+dim(W)=dim(U+W)+dim(U \cap W)$ segue che U+W ha dimensione 3.
Adesso puoi trovare una equazione per U+W trovando una base di U+W, per esempio {(1,1,0,0), (0,2,1,1), (0,2,-1,1)}, e annullando il determinante di
$((x,y,z,t),(1,1,0,0),(0,2,1,1),(0,2,-1,1))$
trovando
$x-y+2t=0$
Quindi U+W ha per equazione $x+2t=y$.
Ora per vedere se un vettore sta in $U \cap W$ o in $U+W$ ti basta vedere se verifica la/le sua/loro equazione/i.
Ciao ciao.
Il procedimento passaggio per passaggio è lungo e dispendioso, ti do una traccia:
W è generato dai vettori (1,1,0,0), (0,2,1,1), (2,0,-1,-1). Ora, tramite un sistemino ti rendi conto che il terzo vettore eguaglia il doppio del primo meno il secondo. Inoltre i primi due vettori sono tra loro non proporzionali quindi W ha dimensione 2 e una sua base è formata da (1,1,0,0) e (0,2,1,1).
Un vettore (x,y,z,t) sta in W se e solo se è una combinazione lineare di (1,1,0,0) e di (0,2,1,1). In altre parole, se e solo se la matrice
$((x,y,z,t),(1,1,0,0),(0,2,1,1))$
non ha rango massimo. Ciò accade se e solo se tutti i minori di ordine tre si annullano. Annullando i minori di ordine tre trovi le equazioni
$x+2z-y=0$
$z-t=0$
$x+2t-y=0$
Naturalmente la terza dipende dalle prime due. Quindi equazioni che caratterizzano W sono $z=t$ e $y=x+2z$.
Ora, U ha equazioni
$x+y+z=t$
$x-y+2t=0$
W ha equazioni
$x+2z-y=0$
$z=t$
Ancora con un sistemino lineare ti accorgi che la metà della seconda equazione di U meno la metà della prima equazione di W dà come risultato la seconda equazione di W. Siccome $U \ne W$ (te ne puoi accorgere facilmente) ne segue che $U \cap W$ ha dimensione 1 (perché caratterizzato da 3 equazioni indipendenti: le due di U più la prima di W). Dalla formula delle dimensioni allora, $dim(U)+dim(W)=dim(U+W)+dim(U \cap W)$ segue che U+W ha dimensione 3.
Adesso puoi trovare una equazione per U+W trovando una base di U+W, per esempio {(1,1,0,0), (0,2,1,1), (0,2,-1,1)}, e annullando il determinante di
$((x,y,z,t),(1,1,0,0),(0,2,1,1),(0,2,-1,1))$
trovando
$x-y+2t=0$
Quindi U+W ha per equazione $x+2t=y$.
Ora per vedere se un vettore sta in $U \cap W$ o in $U+W$ ti basta vedere se verifica la/le sua/loro equazione/i.
Ciao ciao.
"Martino":
Ciao scusa è che io posso utilizzare il pc solo la mattina e solo durante la settimana
Il procedimento passaggio per passaggio è lungo e dispendioso, ti do una traccia:
W è generato dai vettori (1,1,0,0), (0,2,1,1), (2,0,-1,-1). Ora, tramite un sistemino ti rendi conto che il terzo vettore eguaglia il doppio del primo meno il secondo. Inoltre i primi due vettori sono tra loro non proporzionali quindi W ha dimensione 2 e una sua base è formata da (1,1,0,0) e (0,2,1,1).
Un vettore (x,y,z,t) sta in W se e solo se è una combinazione lineare di (1,1,0,0) e di (0,2,1,1). In altre parole, se e solo se la matrice
$((x,y,z,t),(1,1,0,0),(0,2,1,1))$
non ha rango massimo. Ciò accade se e solo se tutti i minori di ordine tre si annullano. Annullando i minori di ordine tre trovi le equazioni
$x+2z-y=0$
$z-t=0$
$x+2t-y=0$
Naturalmente la terza dipende dalle prime due. Quindi equazioni che caratterizzano W sono $z=t$ e $y=x+2z$.
Ora, U ha equazioni
$x+y+z=t$
$x-y+2t=0$
W ha equazioni
$x+2z-y=0$
$z=t$
Ancora con un sistemino lineare ti accorgi che la metà della seconda equazione di U meno la metà della prima equazione di W dà come risultato la seconda equazione di W. Siccome $U \ne W$ (te ne puoi accorgere facilmente) ne segue che $U \cap W$ ha dimensione 1 (perché caratterizzato da 3 equazioni indipendenti: le due di U più la prima di W). Dalla formula delle dimensioni allora, $dim(U)+dim(W)=dim(U+W)+dim(U \cap W)$ segue che U+W ha dimensione 3.
Adesso puoi trovare una equazione per U+W trovando una base di U+W, per esempio {(1,1,0,0), (0,2,1,1), (0,2,-1,1)}, e annullando il determinante di
$((x,y,z,t),(1,1,0,0),(0,2,1,1),(0,2,-1,1))$
trovando
$x-y+2t=0$
Quindi U+W ha per equazione $x+2t=y$.
Ora per vedere se un vettore sta in $U \cap W$ o in $U+W$ ti basta vedere se verifica la/le sua/loro equazione/i.
Ciao ciao.
non mi dire niente martino tanto l'esame è oggi pomeriggio,ma gli ultimi 2 passaggi non mi sono tanto chiari potresti illstrarmi,ovvero annullare il determinande e verificare se appartiene(perche se io ho 1 equazione,e il sistema che devo vedere se appartiene è formato da 3 vettori,come faccio a sostituirli nell'equazione?)
"memphis":
[quote="Martino"]
Adesso puoi trovare una equazione per U+W trovando una base di U+W, per esempio {(1,1,0,0), (0,2,1,1), (0,2,-1,1)}, e annullando il determinante di
$((x,y,z,t),(1,1,0,0),(0,2,1,1),(0,2,-1,1))$
trovando
$x-y+2t=0$
Quindi U+W ha per equazione $x+2t=y$.
Ora per vedere se un vettore sta in $U \cap W$ o in $U+W$ ti basta vedere se verifica la/le sua/loro equazione/i.
Ciao ciao.
non mi dire niente martino tanto l'esame è oggi pomeriggio,ma gli ultimi 2 passaggi non mi sono tanto chiari potresti illstrarmi,ovvero annullare il determinande e verificare se appartiene(perche se io ho 1 equazione,e il sistema che devo vedere se appartiene è formato da 3 vettori,come faccio a sostituirli nell'equazione?)[/quote]
Ci sei all'equazione $x-y+2t=0$ ? In tal caso, tu sai che U+W ha una base formata da tre elementi (perché ha dimensione 3). Ciò ti permette di escludere le scelte con 2 o 4 elementi del testo. Ti rimangono due scelte:
(1,1,-2,0),(-1,1,1,1),(0,2,-1,1)
(1,1,-2,0),(-1,1,1,1),(1,0,1,1)
Se la prima di tali scelte, cioè (1,1,-2,0),(-1,1,1,1),(0,2,-1,1), è base allora ognuno di questi tre vettori deve verificare l'equazione $y=x+2t$ (perché se è base in particolare i tre vettori appartengono a U+W !). Se provi a sostituire trovi che ciò è vero. Rimane da verificare che sono linearmente indipendenti.
La seconda di tali scelte, cioè (1,1,-2,0),(-1,1,1,1),(1,0,1,1), non è base perché il terzo vettore, (1,0,1,1), non verifica l'equazione $y=x+2t$.
"Martino":
[quote="memphis"][quote="Martino"]
Adesso puoi trovare una equazione per U+W trovando una base di U+W, per esempio {(1,1,0,0), (0,2,1,1), (0,2,-1,1)}, e annullando il determinante di
$((x,y,z,t),(1,1,0,0),(0,2,1,1),(0,2,-1,1))$
trovando
$x-y+2t=0$
Quindi U+W ha per equazione $x+2t=y$.
Ora per vedere se un vettore sta in $U \cap W$ o in $U+W$ ti basta vedere se verifica la/le sua/loro equazione/i.
Ciao ciao.
Martino sei un grande.....
L'ho fatto in modo un po diverso,ma mi trovo in tutti i passaggi....grazie
non mi dire niente martino tanto l'esame è oggi pomeriggio,ma gli ultimi 2 passaggi non mi sono tanto chiari potresti illstrarmi,ovvero annullare il determinande e verificare se appartiene(perche se io ho 1 equazione,e il sistema che devo vedere se appartiene è formato da 3 vettori,come faccio a sostituirli nell'equazione?)[/quote]
Ci sei all'equazione $x-y+2t=0$ ? In tal caso, tu sai che U+W ha una base formata da tre elementi (perché ha dimensione 3). Ciò ti permette di escludere le scelte con 2 o 4 elementi del testo. Ti rimangono due scelte:
(1,1,-2,0),(-1,1,1,1),(0,2,-1,1)
(1,1,-2,0),(-1,1,1,1),(1,0,1,1)
Se la prima di tali scelte, cioè (1,1,-2,0),(-1,1,1,1),(0,2,-1,1), è base allora ognuno di questi tre vettori deve verificare l'equazione $y=x+2t$ (perché se è base in particolare i tre vettori appartengono a U+W !). Se provi a sostituire trovi che ciò è vero. Rimane da verificare che sono linearmente indipendenti.
La seconda di tali scelte, cioè (1,1,-2,0),(-1,1,1,1),(1,0,1,1), non è base perché il terzo vettore, (1,0,1,1), non verifica l'equazione $y=x+2t$.[/quote]
"memphis":
[quote="Martino"][quote="memphis"][quote="Martino"]
Adesso puoi trovare una equazione per U+W trovando una base di U+W, per esempio {(1,1,0,0), (0,2,1,1), (0,2,-1,1)}, e annullando il determinante di
$((x,y,z,t),(1,1,0,0),(0,2,1,1),(0,2,-1,1))$
trovando
$x-y+2t=0$
Quindi U+W ha per equazione $x+2t=y$.
Ora per vedere se un vettore sta in $U \cap W$ o in $U+W$ ti basta vedere se verifica la/le sua/loro equazione/i.
Ciao ciao.
Martino sei un grande.....
L'ho fatto in modo un po diverso,ma mi trovo in tutti i passaggi....grazie
non mi dire niente martino tanto l'esame è oggi pomeriggio,ma gli ultimi 2 passaggi non mi sono tanto chiari potresti illstrarmi,ovvero annullare il determinande e verificare se appartiene(perche se io ho 1 equazione,e il sistema che devo vedere se appartiene è formato da 3 vettori,come faccio a sostituirli nell'equazione?)[/quote]
Ci sei all'equazione $x-y+2t=0$ ? In tal caso, tu sai che U+W ha una base formata da tre elementi (perché ha dimensione 3). Ciò ti permette di escludere le scelte con 2 o 4 elementi del testo. Ti rimangono due scelte:
(1,1,-2,0),(-1,1,1,1),(0,2,-1,1)
(1,1,-2,0),(-1,1,1,1),(1,0,1,1)
Se la prima di tali scelte, cioè (1,1,-2,0),(-1,1,1,1),(0,2,-1,1), è base allora ognuno di questi tre vettori deve verificare l'equazione $y=x+2t$ (perché se è base in particolare i tre vettori appartengono a U+W !). Se provi a sostituire trovi che ciò è vero. Rimane da verificare che sono linearmente indipendenti.
La seconda di tali scelte, cioè (1,1,-2,0),(-1,1,1,1),(1,0,1,1), non è base perché il terzo vettore, (1,0,1,1), non verifica l'equazione $y=x+2t$.[/quote][/quote]
ma per vedere se un vettore appartiene a UintersecatoW devo verificare sempre che il vettore verifichi quella equazione?
"memphis":
ma per vedere se un vettore appartiene a UintersecatoW devo verificare sempre che il vettore verifichi quella equazione?
Per vedere se un vettore v appartiene a $U \cap W$ devi vedere se soddisfa le equazioni di $U \cap W$, che abbiamo detto essere
$x+y+z=t$
$x-y+2t=0$
$x+2z-y=0$
Naturalmente se v soddisfa tali equazioni allora soddisfa anche qualsiasi equazione caratterizzi $U+W$ (infatti $U \cap W \subseteq U+W$).
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