Qualcuno potrebbe aiutarmi su un argomento riguardante le Matrici (diagonalizzazione e matrice inversa)?

[anonimo201]

Dunque nel primo esercizio data una matrice vuole sapere se questa è diagonalizzabile, dopodichè mi chiede di completare questa affermazione determinando delle condizioni necessarie e sufficienti per i paramtri reali b,c motivando la risposta.
Dunque in questo esercizio sono arrivato sino alla molteciplità algebrica, ma ora devo vedere le condizioni necessarie affinchè sia diagonalizzabile. Cercando su Internet mi dice che affinchè sia diagonalizzabile: la molteplicità algebrica deve essere uguale alla molteciplità geometrica.
Insomma non capisco come devo risolvere questa cosa.

Nel secondo esercizio devo determinare l'inversa di una matrice. L'ho iniziata a fare, ma forse in modo sbagliato. Come dovrei farla?
Grazie a chiunque mi risponda!

[anto_zoolander]

Magari scrivendo l’esercizio ne potremmo parlare.

[anonimo201]

Es.1
|ε b o|
A = |0 β c|
|0 0 ε|

Sostituendo ε=3 e β=2

Es.2
| 0 0 0 4 |
| 0 0 β ε |
M= | 0 5 0 0 |
| ε β 0 0 |

[Bokonon]

"anonimo20":
Dunque in questo esercizio sono arrivato sino alla molteciplità algebrica, ma ora devo vedere le condizioni necessarie affinchè sia diagonalizzabile.

Detto nel modo più semplice possibile...è diagonilizzabile se e solo se dagli auovalori riesci a ricavare autovettori a sufficienza per creare una base nello spazio Rn della matrice. Punto.
Quindi se hai una matrice nxn e n autovalori reali (n soluzioni distinte all'equazione caratteristica) allora sarai certo di trovare "almeno" n autovettori.
Se trovi autovalori complessi allora non troverai una base di autovettori in R.
Se invece trovi soluzioni reali di cui magari diverse coincidenti, allora devi studiare le soluzioni omogenee per ogni autovalore: se trovi autovettori a sufficienza allora è diagonalizzabile altrimenti no.

Ergo, immaginiamo una matrice 3x3 con parametri. Quindi polinomio caratteristico di terzo grado.
A) 2 soluzioni complesse coniugate + 1 reale = non diagonalizzabile, ergo vanno esclusi i valori del parametro/i che creano le soluzioni complesse...in questo caso saranno tutti i valori che creano una radice negativa nella sol della parte di eq. di secondo grado
B) soluzioni distinte = ok, Quindi tutti i valori che possono assumere i parametri dando sol. distinte sono ok
C) 3 soluzioni coincidenti implica che non è diagonalizzabile perchè avrai una sola matrice non singolare corrispondente a quel autovalore, ergo al minimo avrà rango 1 (può avere rango 0 solo se la matrice iniziale è la matrice nulla! E dubito che sia il caso) ergo al massimo potrai ricavare due autovetori mentre te ne servono tre. Quindi per valori dei parametri che forniscono tre sol. coincidenti, la risposta è "non diagonalizzabile
D) infine 2 soluzioni coincidenti e una distinta per specifici valori dei parametri. In questo caso devi andare a vedere. Come minimo da un autovalore (per una matrice 3x3) potrai ottenere un autovettore e al massimo due.Te ne servono tre. Ergo se nessuno dei due autovalori da due soluzioni, allora non è diagonalizzabile.