Qualche piccolo dubbio di algebra

[snooze89]

Ciao a tutti. Ho qualche dubbio del cavolo di algebra... Cioè io saprei rispondere alle domande che vi pongo qui di seguito, però non sono sicuro al 100%

1) Se vi sono più equazioni che variabili in un sistema è giusto che tutte le variabili abbiano come valore finale 0, se il termine noto è zero?

$\{(x+y = 0),(2x+y = 0),(3x+2y = 0):}$

x= 0; y = 0

2) Per sommare dei vettori per verificare che siano linearmente dipendenti o indipendenti e io sono in $R^3$, devo sommare tre vettori, tutti moltiplicati per uno scalare? Se fossi in $R^3$, ma se avessi solo due vettori, essi sarebbero per forza linearmente indipendenti?
Es.

$v_1 (1,0,3) v_2 (-1, 0,3)$

$\{(a_1 - a_2 = 0),(3a_1 + 3_a2 = 0):}$

$a_1 = 0$
$a_2 = 0$

3) Se moltiplico per uno scalare i componenti di un vettore, ottengo un altro vettore con componenti proporzionali al prio

$\{(x_1 = ky_1),(y_2 = ky_2),(x_3 = ky=3):}$

Dovrei aver ottenuto un nuovo vettore linearmente dipendente.
Esempio: parto da $v_1 (2,1,5,-1)$ se $k = 2$ il mio vettore $v_2$ sarà $(4,2,10,-2)$.

Posso quindi dire che $v_1$ e $v_2$ sono linearmente dipendenti? Oppure devo trovare anche $v_3$ e $v_4$ per poterlo dimostrare con la regola

$a_1*v_1 + .... a_n*v_2 = 0$

4) Cosa stupida: $R^4$ significa che le componenti di un vettore sono 4?

$v_1 (2,3,4,5)$

Fossi in $R^3$ avrei $v_1 (1,2,3)$

Scusate la stupidità delle domande...

[Lord K]

"Ruci":Ciao a tutti. Ho qualche dubbio del cavolo di algebra... Cioè io saprei rispondere alle domande che vi pongo qui di seguito, però non sono sicuro al 100%

1) Se vi sono più equazioni che variabili in un sistema è giusto che tutte le variabili abbiano come valore finale 0, se il termine noto è zero?

$\{(x+y = 0),(2x+y = 0),(3x+2y = 0):}$

x= 0; y = 0

Corretto.

2) Per sommare dei vettori per verificare che siano linearmente dipendenti o indipendenti e io sono in $R^3$, devo sommare tre vettori, tutti moltiplicati per uno scalare?

Devi osservare che l'unico modo in cui puoi ottenere l'elemento nullo è quello di avere tutti i coefficienti $0$. Ovvero se hai ${v_1,v_2,v_3}$

$lambda_1v_1+lambda_2v_2+lambda_3v_3=0$ implica necessariamente che: $lambda_1=lambda_2=lambda_3=0$

Se fossi in $R^3$, ma se avessi solo due vettori, essi sarebbero per forza linearmente indipendenti?

Ovviamente no: osserva per esempio $(0,1,0)$ e $(0,0,1)$ non sono linearmente dipendenti. Forse fai riferimento al fatto che se prendo $4$ vettori in $RR^3$ allora almeno uno è dipendente dagli altri...

Es.

$v_1 (1,0,3) v_2 (-1, 0,3)$

$\{(a_1 - a_2 = 0),(3a_1 + 3_a2 = 0):}$

$a_1 = 0$
$a_2 = 0$

Ed anche questi non sono dipendenti!

3) Se moltiplico per uno scalare i componenti di un vettore, ottengo un altro vettore con componenti proporzionali al primo

$\{(x_1 = ky_1),(y_2 = ky_2),(x_3 = ky=3):}$

Dovrei aver ottenuto un nuovo vettore linearmente dipendente.

Esattamente

Esempio: parto da $v_1 (2,1,5,-1)$ se $k = 2$ il mio vettore $v_2$ sarà $(4,2,10,-2)$.

Posso quindi dire che $v_1$ e $v_2$ sono linearmente dipendenti?

E' sufficiente!

4) Cosa stupida: $R^4$ significa che le componenti di un vettore sono 4?

$v_1 (2,3,4,5)$

Fossi in $R^3$ avrei $v_1 (1,2,3)$

Scusate la stupidità delle domande...

Il $RR^4$ quattro componenti, $RR^3$ tre componenti!... Non c'è da scusarsi (leggi la mia firma) ma prova dapprima a fare tue le definizini di base prima di buttarti sugli esercizi.

[snooze89]

Ti ringrazio molto per le risposte molto chiare ed esaustive... Veramente grazie! Adesso non dovrei più avere dubbi... Così almeno adesso che inizieremo a fare esercizi in classe, dovrei avere un quadro di teoria abbastanza chiaro

E soprattutto grazie per avermi fatto leggere la tua firma: mi ha tirato su di morale!