Qualche dubbio su argomenti di geometria

[maco94]

Buonasera a tutti, sono un nuovo iscritto in questo forum che seguo già da tempo, sto preparando l'esame di geometria (che dovrò sostenere la prossima settimana ) e ho qualche dubbio su alcune tipologie di esercizi di geometria, di seguito scriverò le consegne e vi dirò il ragionamento che ho seguito, anche se i risultati non mi vengono, quindi deve esserci qualcosa di sbagliato.

1) Calcocare la distanza tra il punto \(\displaystyle P≡[-1, 2, 0, 1] \) e la proiezione ortogonale dell'asse x sull'iperpiano di equazione \(\displaystyle 3x - y + 2z - w = 1 \).
In questo esercizio avevo provato a considerare un punto generico appartenente all'asse x ed uno generico appartenente all'iperpiano, dopo di che, trovate le coordinate del punto simmetrico (punto ortogonale a quello generico dell'asse) ho fatto la distanza tra questo e il punto P, ma il risultato non combacia con le soluzioni.

2) Determinare il piano che ha equazione \(\displaystyle 3x - 2y + z = -1 \) nel riferimento \(\displaystyle R2 \), costituito dai punti \(\displaystyle P0≡[-1, -1, 2] \), \(\displaystyle P1≡[-2, 1, 3] \), \(\displaystyle P2≡[1, -1, -1] \) e \(\displaystyle P3≡[-5, 1, 3] \) in quest'ordine.
In quest'altro esercizio mi sono costruito la matrice mettendo in colonna i vettori che costituiscono la base del riferimento \(\displaystyle R2 \), ovvero {\(\displaystyle P1-P0, P2-P0, P3-P0 \)}, l'ho invertita e moltiplicata per un vettore \(\displaystyle \) generico, sommando alla fine le coordinate del punto \(\displaystyle P0 \); da questo ho ottenuto delle equazioni che ho sostituito ad x, y e z della mia equazione di partenza.
Ma anche qui, non mi combacia il risultato.

3) Sia \(\displaystyle r \) la retta per i punti \(\displaystyle A≡[-1, 0, -2, 0] \) e \(\displaystyle B≡[0, -1, -2, -1] \). Determinare (a meno del segno) la direzione della retta \(\displaystyle r' \) simmetrica di \(\displaystyle r \) rispetto all'iperpiano di equazione \(\displaystyle -2x + y - z + 3w - 2 = 0 \).
Non riesco a capire come svolgere questo esercizio e sono disperato, non so più cosa provare!

4) Stabilire quali tra le seguenti sono equazioni della retta simmetrica dell'asse y rispetto all'iperpiano per i punti \(\displaystyle A≡[1, 2, 2, -1] \), \(\displaystyle B≡[0, 2, 1, -1] \), \(\displaystyle C≡[-2, 0, 1, 0] \) e \(\displaystyle D≡[-3, 1, 0, -2]\).

La risposta è:

$ { (x + z = 0),(x - 4y = -9),(2x + 3w = 0):} $

Ma non capisco proprio come si svolga questo tipo di esercizi.

Capisco che sono molti, ma se gentilmente avreste la pazienza di spiegarmi questi 4 esercizi ve ne sarei eternamente grato!
Sono le uniche 4 tipologie che non riesco ancora a fare!

[vict85]

Benvenuto e buona permanenza.

"maco94":Buonasera a tutti, sono un nuovo iscritto in questo forum che seguo già da tempo, sto preparando l'esame di geometria (che dovrò sostenere la prossima settimana ) e ho qualche dubbio su alcune tipologie di esercizi di geometria, di seguito scriverò le consegne e vi dirò il ragionamento che ho seguito, anche se i risultati non mi vengono, quindi deve esserci qualcosa di sbagliato.

1) Calcocare la distanza tra il punto \(\displaystyle P≡[-1, 2, 0, 1] \) e la proiezione ortogonale dell'asse x sull'iperpiano di equazione \(\displaystyle 3x - y + 2z - w = 1 \).
In questo esercizio avevo provato a considerare un punto generico appartenente all'asse x ed uno generico appartenente all'iperpiano, dopo di che, trovate le coordinate del punto simmetrico (punto ortogonale a quello generico dell'asse) ho fatto la distanza tra questo e il punto P, ma il risultato non combacia con le soluzioni.

Il vettore \(\displaystyle \mathbf{u} = [3, -1, 2, 1] \) è perpendicolare all'iperpiano (dove ho usato l'usuale prodotto scalare come forma bilineare). La proiezione ortogonale dell'asse \(\displaystyle x \) sull'iperpiano è quindi \(\displaystyle \biggl[ \frac13, 0, 0, 0 \biggr] + t\biggl(\mathbf{e}_1 - \frac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{e}_1 \rangle}{\lVert \mathbf{u} \rVert} \mathbf{u} \biggr) \). In altre parole ho preso l'intersezione tra la retta è l'iperpiano e ho quindi tolto alla direzione della retta la sua componente perpendicolare all'iperpiano. A quel punto puoi calcolare la distanza.

"maco94":2) Determinare il piano che ha equazione \(\displaystyle 3x - 2y + z = -1 \) nel riferimento \(\displaystyle R2 \), costituito dai punti \(\displaystyle P0≡[-1, -1, 2] \), \(\displaystyle P1≡[-2, 1, 3] \), \(\displaystyle P2≡[1, -1, -1] \) e \(\displaystyle P3≡[-5, 1, 3] \) in quest'ordine.
In quest'altro esercizio mi sono costruito la matrice mettendo in colonna i vettori che costituiscono la base del riferimento \(\displaystyle R2 \), ovvero {\(\displaystyle P1-P0, P2-P0, P3-P0 \)}, l'ho invertita e moltiplicata per un vettore \(\displaystyle \) generico, sommando alla fine le coordinate del punto \(\displaystyle P0 \); da questo ho ottenuto delle equazioni che ho sostituito ad x, y e z della mia equazione di partenza.
Ma anche qui, non mi combacia il risultato.

Prova a sottrarre prima e moltiplicare poi

Insomma hai che \(\displaystyle \mathbf{x}' = T\mathbf{x} + P_0 \). La sua inversa è \(\displaystyle T^{-1}(\mathbf{x}' - P_0) = \mathbf{x} \). Insomma se avessi \(\displaystyle y = mx + q \) allora \(\displaystyle x = \frac{y - q}{m} \) e non \(\displaystyle x = \frac{y}{m} - q \).

"maco94":3) Sia \(\displaystyle r \) la retta per i punti \(\displaystyle A≡[-1, 0, -2, 0] \) e \(\displaystyle B≡[0, -1, -2, -1] \). Determinare (a meno del segno) la direzione della retta \(\displaystyle r' \) simmetrica di \(\displaystyle r \) rispetto all'iperpiano di equazione \(\displaystyle -2x + y - z + 3w - 2 = 0 \).
Non riesco a capire come svolgere questo esercizio e sono disperato, non so più cosa provare!

È un po' come il primo. Hai una retta, trovata la sua componente perpendicolare all'iperpiano (intendo la componente della direzione perpendicolare all'iperpiano) allora ti basta sottrarla due volte alla direzione della retta e usarla come direzione della retta a partire dal punto di intersezione della retta con l'iperpiano. In caso di parallelismo allora devi riflettere anche il punto iniziale.

"maco94":4) Stabilire quali tra le seguenti sono equazioni della retta simmetrica dell'asse y rispetto all'iperpiano per i punti \(\displaystyle A≡[1, 2, 2, -1] \), \(\displaystyle B≡[0, 2, 1, -1] \), \(\displaystyle C≡[-2, 0, 1, 0] \) e \(\displaystyle D≡[-3, 1, 0, -2]\).

La risposta è:

$ { (x + z = 0),(x - 4y = -9),(2x + 3w = 0):} $

Ma non capisco proprio come si svolga questo tipo di esercizi.

Capisco che sono molti, ma se gentilmente avreste la pazienza di spiegarmi questi 4 esercizi ve ne sarei eternamente grato!
Sono le uniche 4 tipologie che non riesco ancora a fare!

Trovato l'iperpiano è come il punto 3.

[maco94]

Grazie per la risposta tempestiva e la disponibilità, proverò in mattinata a rifare tutti questi esercizi e vediamo cosa ne viene fuori!!

[maco94]

"vict85":La proiezione ortogonale dell'asse \(\displaystyle x \) sull'iperpiano è quindi \(\displaystyle \biggl[ \frac13, 0, 0, 0 \biggr] + t\biggl(\mathbf{e}_1 - \frac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{e}_1 \rangle}{\lVert \mathbf{u} \rVert} \mathbf{u} \biggr) \). In altre parole ho preso l'intersezione tra la retta è l'iperpiano e ho quindi tolto alla direzione della retta la sua componente perpendicolare all'iperpiano.

Ho provato a rifarlo più e più volte, ma non capisco concettualmente il procedimento di cui sopra
Non capisco come ti ricavi \(\displaystyle \biggl[ \frac13, 0, 0, 0 \biggr]\) e non capisco il perchè devo calcolarmi questo vettore \(\displaystyle t\biggl(\mathbf{e}_1 - \frac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{e}_1 \rangle}{\lVert \mathbf{u} \rVert} \mathbf{u} \biggr) \).
Devi scusarmi, ma purtroppo sono argomenti che non abbiamo minimamente affrontato con il professore in aula ma nonostante questo si ostina a presentarli nel compito d'esame! ecco perchè ho tutte queste difficoltà!

[vict85]

Mi sono accorto che la formula corretta è \( \displaystyle \mathbf{e}_1 - \frac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{e}_1 \rangle}{\lVert \mathbf{u} \rVert^2} \mathbf{u} \).

In termini di spazio vettoriale hai, data una base \(\displaystyle \{ \mathbf{b}_i \} \) che \(\displaystyle \mathbf{v} = \nu_i \mathbf{b}_i \). Sia quindi \(\displaystyle \langle \bullet ,\bullet \rangle \) un prodotto scalare, in altre parole una forma bilineare definita positiva. Nel caso di \(\displaystyle \mathbf{R}^n \) si ha in genere che \(\displaystyle \langle \mathbf{v},\mathbf{w} \rangle = \sum \nu_i\omega_i \) e ovviamente io mi riferivo a questo prodotto scalare.

Tornando a \(\displaystyle \mathbf{v} \) e a \(\displaystyle \{ \mathbf{b}_i \} \) ho che \(\displaystyle \langle \mathbf{v},\mathbf{b}_i \rangle = \sum \nu_j\langle \mathbf{b}_j,\mathbf{b}_i \rangle \). Se si scelgono dei \(\displaystyle \{ \mathbf{b}_i \} \) in modo tale che \(\displaystyle \langle \mathbf{b}_j,\mathbf{b}_i \rangle = \delta_{ij} \) dove \(\displaystyle \delta_{ij} \) è il Delta di Kronecker, come nel caso di una base ortogonale di \(\displaystyle \mathbf{R}^n \), allora si ha che \(\displaystyle \langle \mathbf{v},\mathbf{b}_i \rangle = \nu_i\langle \mathbf{b}_i,\mathbf{b}_i \rangle = \nu_i\lVert \mathbf{b}_i \rVert^2 \) dove \(\displaystyle \lVert \bullet \rVert \) è la norma associata al prodotto vettoriale.

Perciò si ha che \(\displaystyle \nu_i = \frac{\langle \mathbf{v},\mathbf{b}_i \rangle}{\lVert \mathbf{b}_i \rVert^2} \) e quindi \(\displaystyle \mathbf{v} = \sum \frac{\langle \mathbf{v},\mathbf{b}_i \rangle}{\lVert \mathbf{b}_i \rVert^2}\mathbf{b}_i \).

Consideriamo quindi il tuo problema. Un iperpiano vettoriale è definito dalla condizione \(\displaystyle H_{u} = \{ \mathbf{w}\in V \mid \langle \mathbf{u}, \mathbf{w} \rangle = 0 \} \). Gli iperpiani affini sono iperpiani vettoriali traslati. Per prima cosa devi renderti conto che se io ho un vettore \(\displaystyle \mathbf{u} \) allora posso completarlo con una base ortogonale (anche ortonormale ma ora non ci interessa[nota]La dimostrazione è l'unione del fatto che dato un insieme di vettori linearmenti indipendenti posso estenderlo ad una base e il fatto che posso a partire da una base costruirne una ortonormale usando il procedimento di Gram-Smith[/nota]). D'altra parte a noi non interessa la base in se ma il fatto che posso esprimere ogni vettore dell'intero spazio come la somma di un multiplo di \(\displaystyle \mathbf{u} \) più qualcosa che è ortogonale a \(\displaystyle \mathbf{u} \). Per vederlo costruiamo una base ortogonale \(\displaystyle \{\mathbf{u},\mathbf{b}_i\} \) allora abbiamo visto che \(\displaystyle \mathbf{v} = \frac{\langle \mathbf{v},\mathbf{u} \rangle}{\lVert \mathbf{u} \rVert^2}\mathbf{u} + \sum \frac{\langle \mathbf{v},\mathbf{b}_i \rangle}{\lVert \mathbf{b}_i \rVert^2}\mathbf{b}_i \). A questo punto ti basta ricordare che \(\displaystyle \langle \mathbf{v},\mathbf{b}_i \rangle = 0 \) per costruzione.

Infine basta osservare che \(\displaystyle \mathbf{v} - \frac{\langle \mathbf{v},\mathbf{u} \rangle}{\lVert \mathbf{u} \rVert^2}\mathbf{u} = \sum \frac{\langle \mathbf{v},\mathbf{b}_i \rangle}{\lVert \mathbf{b}_i \rVert^2}\mathbf{b}_i \) e quindi \(\displaystyle \mathbf{v} - \frac{\langle \mathbf{v},\mathbf{u} \rangle}{\lVert \mathbf{u} \rVert^2}\mathbf{u} \) è ortogonale a \(\displaystyle \mathbf{u} \).

Quel vettore è semplicemente l'intersezione tra la retta e l'iperpiano. Quindi se io uso quel punto come origine degli assi entrambi gli spazi diventano sottospazi vettoriali e tutta la teoria descritta qui funziona.