Qualche domanda per gli esperti

[loke1]

1)Come determinare modulo e argomento di $2-2i$
allora, il modulo di $2-2i$ si trova facendo $sqrt(2^2+(-2)^2)$ = $sqrt(8)$
ma l'argomento??
2)Il vettore proiezione di $(1, 1, 1, 2)$ nella direzione di $(0, 1, 1, 1)$ è? come si calcola???
3)La dimensione dello spazio generato da $v1 = (1, 1, 0) v2 = (1, 1, 1) v3 = (2, 1, 1)$ è uguale a??
4)Come si calcola la dimensione del nucleo di una matrice?
5)Le soluzioni della equazione $x$''$(t) + 4x$'$(t) + 4x(t) = t + e^t$ sono?? (come si calcolano?)


Grazie!

[Martino]

Ciao.

Ad essere sincero queste, più che domande per esperti, mi sembrano domande del tutto standard riguardanti (rispettivamente) numeri complessi, algebra lineare, algebra lineare, algebra lineare, equazioni differenziali lineari del secondo ordine.

Credo che ti sarebbe molto più utile provare a postare i tuoi tentativi di svolgimento (non serve a niente che li si faccia al posto tuo).

[loke1]

non so come sia possibile svolgere quei problemi, se possibile vorrei avere una traccia generale sul metodo da utilizzare...

[Martino]

"loke":1)Come determinare modulo e argomento di $2-2i$
allora, il modulo di $2-2i$ si trova facendo $sqrt(2^2+(-2)^2)$ = $sqrt(8)$
ma l'argomento??
2)Il vettore proiezione di $(1, 1, 1, 2)$ nella direzione di $(0, 1, 1, 1)$ è? come si calcola???
3)La dimensione dello spazio generato da $v1 = (1, 1, 0) v2 = (1, 1, 1) v3 = (2, 1, 1)$ è uguale a??
4)Come si calcola la dimensione del nucleo di una matrice?
5)Le soluzioni della equazione $x$''$(t) + 4x$'$(t) + 4x(t) = t + e^t$ sono?? (come si calcolano?)


Grazie!

1) Un generico numero complesso non nullo si scrive in modo unico come $z=rho(cos(theta)+i sin(theta))$, dove $rho$ è un numero reale positivo detto modulo, e $theta$ è un numero reale compreso tra 0 e $2pi$ (0 incluso, $2 pi$ escluso) detto argomento. Quindi riscrivi il tuo numero complesso in questa forma (ovvero: raccogliendo il modulo) e deducine l'argomento (conoscendone seno e coseno).

2) La proiezione ortogonale (immagino tu intenda questo) di un vettore v nella direzione di w è per definizione $p_w(v)=(v * w)/(||w||^2) w = (v*w)/(w*w) w$, dove $*$ indica il prodotto scalare standard.

3) Scrivi la matrice le cui colonne sono quei tre vettori e determinane il rango. Per calcolare il rango di una matrice puoi osservare che esso è uguale alla differenza tra l'ordine della matrice e la dimensione del nucleo della matrice. Ciò rimanda al punto 4).

4) Se disponi di una matrice A, puoi andare a cercare quei vettori v che stanno nel nucleo di A (chiaramente questo è un taciuto abuso di linguaggio: quando si dice 'nucleo di una matrice' si intende 'nucleo dell'applicazione lineare associata a tale matrice nella base canonica'), ovvero imposti il sistema Av=0. Trovi un certo numero di equazioni, ne elimini di 'superflue' (dipendenti dalle altre) cosicché ti restino solo equazioni indipendenti tra loro. Il loro numero coincide con la codimensione del nucleo.

(ci tengo comunque a far notare che i punti 3) e 4) sono davvero concetti basilari di algebra lineare, e trovi esercizi svolti ovunque vuoi)

5) Si tratta di una equazione differenziale lineare del secondo ordine a coefficienti costanti, quindi la si può risolvere con la teoria apposita: omogenea associata, variazione delle costanti.

Ciao