[Quadriche] Riconoscere le superfici
Data una superficie del genere:
$x^2+y^2+4yz+2x+1=0$
come faccio a capire che tipo di figura è?
Riesco a farlo benissimo quando si tratta semplicemente di completare i quadrati (quindi quando c'è solo traslazione) o quando c'è da riportare una forma quadratica alla sua forma canonica, ma quando la mia equazione non è nemmeno una forma quadratica come faccio a riconoscere di cosa stiamo parlando?
$x^2+y^2+4yz+2x+1=0$
come faccio a capire che tipo di figura è?
Riesco a farlo benissimo quando si tratta semplicemente di completare i quadrati (quindi quando c'è solo traslazione) o quando c'è da riportare una forma quadratica alla sua forma canonica, ma quando la mia equazione non è nemmeno una forma quadratica come faccio a riconoscere di cosa stiamo parlando?
Risposte
Salve Flamber,
sei sicuro che è $4yz$?
Cordiali saluti
sei sicuro che è $4yz$?
Cordiali saluti
Purtroppo si 
Quella superfice l'ho lasciata perdere, probabilmente bisogna fare un cambio di variabili comunque.
adesso ne ho appena incontrata un'altra:
$z=√(18-x^2-y^2)$
elevando al quadrato si ottiene:
$z^2= + (18-x^2-y^2)$ e $z^2= - (18-x^2-y^2)$
nel primo caso abbiamo una sfera, nel secondo un iperboloide ad una falda, se invece nel programma che mi fa i grafici metto l'equazione iniziale, mi da una specie di mezza sfera, non riesco a capire come fare...
adesso ne ho appena incontrata un'altra:
$z=√(18-x^2-y^2)$
elevando al quadrato si ottiene:
$z^2= + (18-x^2-y^2)$ e $z^2= - (18-x^2-y^2)$
nel primo caso abbiamo una sfera, nel secondo un iperboloide ad una falda, se invece nel programma che mi fa i grafici metto l'equazione iniziale, mi da una specie di mezza sfera, non riesco a capire come fare...
ripongo la questione perché ho visto che è scivolata un po' giù nel forum, ho un problema con queste due curve.
1) $z=√(18−x^2−y^2)$
2) $x^2+y^2+4yz+2x+1=0$
nel primo caso elevando entrambi i membri al quadrato ottengo due superfici diverse a seconda del + o del - derivanti dall'elevamento a potenza, ed ottengo cioè una sfera ed un iperboloide ad una falda (ed ho anche provato a disegnare con il pc il grafico senza elevare a potenza ed è una specie di mezza sfera);
nel secondo caso ho qualche problema perché non essendo una forma quadratica non so come muovermi, non riesco a capire cosa possa essere. Quando si tratta di completare i quadrati, o risalire alla forma quadratica in forma canonica non ho problemi (ed immagino siano i due casi in cui c'è una traslazione o una rotazione, ma potrei sbagliarmi) ma qui non ho nemmeno una forma quadratica (quindi dovrebbe esserci una roto-traslazione, ma potrei sbagliarmi come prima) e non riesco a risalire a che superfici sia.
1) $z=√(18−x^2−y^2)$
2) $x^2+y^2+4yz+2x+1=0$
nel primo caso elevando entrambi i membri al quadrato ottengo due superfici diverse a seconda del + o del - derivanti dall'elevamento a potenza, ed ottengo cioè una sfera ed un iperboloide ad una falda (ed ho anche provato a disegnare con il pc il grafico senza elevare a potenza ed è una specie di mezza sfera);
nel secondo caso ho qualche problema perché non essendo una forma quadratica non so come muovermi, non riesco a capire cosa possa essere. Quando si tratta di completare i quadrati, o risalire alla forma quadratica in forma canonica non ho problemi (ed immagino siano i due casi in cui c'è una traslazione o una rotazione, ma potrei sbagliarmi) ma qui non ho nemmeno una forma quadratica (quindi dovrebbe esserci una roto-traslazione, ma potrei sbagliarmi come prima) e non riesco a risalire a che superfici sia.
Ciao. Premetto che ho guardato solo la prima delle due superfici, l'altra mi pare un bel casino (mi sembra che dia come sezioni delle circonferenze se segata con piani $z=k$, delle parabole con piani $y=k$ e delle iperboli per $x=k$, insomma ce n'è per tutti i gusti).
Mi pare che tu abbia commesso un errore. Dall'equazione: $z=sqrt(18-x^2-y^2)$__si deduce che è: $z>=0$ e $z^2+x^2+y^2=18$, quindi un emisfero di centro l'origine, raggio $3sqrt2$ nel semispazio $z>=0$.
Le due possibilità di segno per $z$ che ipotizzi sono false, si porrebbero se partissi dall'equazione $z^2=...$ e volessi ricavare $z=...$, non viceversa.
Mi pare che tu abbia commesso un errore. Dall'equazione: $z=sqrt(18-x^2-y^2)$__si deduce che è: $z>=0$ e $z^2+x^2+y^2=18$, quindi un emisfero di centro l'origine, raggio $3sqrt2$ nel semispazio $z>=0$.
Le due possibilità di segno per $z$ che ipotizzi sono false, si porrebbero se partissi dall'equazione $z^2=...$ e volessi ricavare $z=...$, non viceversa.
allora la seconda ho provato a disegnarla con l'elaboratore grafico, ed è un parabolone a sella, traslato e ruotato e anche un po' storto;
invece per quanto dici tu ho fatto un tremendo errore algebrico;
comunque in generale quella è l'equazione di una semisfera?
invece per quanto dici tu ho fatto un tremendo errore algebrico;
comunque in generale quella è l'equazione di una semisfera?
Ciao.
In generale è un'espressione impegnativa, è l'equazione di una semisfera fatta come ti ho detto; se fosse centrata altrove sarebbe diversa, se fosse del tipo $x=sqrt(...)$ sarebbe nel semispazio $x>=0$, e via discorrendo...
"Flamber":
in generale quella è l'equazione di una semisfera?
In generale è un'espressione impegnativa, è l'equazione di una semisfera fatta come ti ho detto; se fosse centrata altrove sarebbe diversa, se fosse del tipo $x=sqrt(...)$ sarebbe nel semispazio $x>=0$, e via discorrendo...
La seconda curva è una quadrica.
Se devi solo classificarla puoi usare il metodo dei minori principali per trovare il segno degli autovalori. Lo conosci ?
Dovrebbe essere un iperboloide a due falde. (Cos'è un parabolone a sella ?)
Se devi solo classificarla puoi usare il metodo dei minori principali per trovare il segno degli autovalori. Lo conosci ?
Dovrebbe essere un iperboloide a due falde. (Cos'è un parabolone a sella ?)
.
eccolo qui
Per non so quale strano motivo la apple ha avuto la brillante idea di mettere un correttore ortografico, tipo il T9 dei cellulari, e mi ha cambiato paraboloide in parabolone. Intendevo un paraboloide iperbolico (o a sella che dir si voglia).
Comunque hai ragione tu, è un iperboloide a due falde molto storto, un po' ruotato e un po' traslato, il metodo che hai citato tu, dovrebbe essere quello che comprende un cambio di variabili ma non lo so applicare, potresti illuminarmi?
Comunque hai ragione tu, è un iperboloide a due falde molto storto, un po' ruotato e un po' traslato, il metodo che hai citato tu, dovrebbe essere quello che comprende un cambio di variabili ma non lo so applicare, potresti illuminarmi?
3 messaggi di fila forse sono considerati spam, ma forse ho capito come fare:
1) Prendo al forma quadratica tolgo i termini di primo grado e faccio la matrice A,
2) Trovo autovalori ed autovettori, e normalizzo gli autovettori;
3) Trovo le basi degli autospazi e li scrivo per colonna nella matrice P;
4) Calcolo tP A P = B
5) B dovrebbe essere una forma quadratica in forma canonica riconoscibilissima
sbaglio qualcosa?
1) Prendo al forma quadratica tolgo i termini di primo grado e faccio la matrice A,
2) Trovo autovalori ed autovettori, e normalizzo gli autovettori;
3) Trovo le basi degli autospazi e li scrivo per colonna nella matrice P;
4) Calcolo tP A P = B
5) B dovrebbe essere una forma quadratica in forma canonica riconoscibilissima
sbaglio qualcosa?
Se si tratta solo di trovare il tipo di quadrica si possono studiare i segni degli autovalori senza esplicitare la forma canonica.
I segni degli autovalori si possono trovare o con la regola di Cartesio o con i minori principali (i due metodi che conosco io).
In questo esempio viene che la matrice dei termini di secondo grado ha segni +,+,- e la matrice completa ha segni +,+,-,-
Quindi si tratta dell'iperoloide a due falde.
I segni degli autovalori si possono trovare o con la regola di Cartesio o con i minori principali (i due metodi che conosco io).
In questo esempio viene che la matrice dei termini di secondo grado ha segni +,+,- e la matrice completa ha segni +,+,-,-
Quindi si tratta dell'iperoloide a due falde.
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