Quadriche e forme canoniche
ciao a tutti,
qualcuno mi può spiegare come si risolvono esercizi di questo genere ?
1) ridurre a forma canonica la curva xy+2x-y-3=0;
2) riconoscere la seguente curca: 3x^2 -y^2 +x - y =0;
dovrei scrivere la matrice e calcolare gli autovalori mi pare, ma mi trovo sempre male a scrivere la matrice in base all'equazione...
help please
qualcuno mi può spiegare come si risolvono esercizi di questo genere ?
1) ridurre a forma canonica la curva xy+2x-y-3=0;
2) riconoscere la seguente curca: 3x^2 -y^2 +x - y =0;
dovrei scrivere la matrice e calcolare gli autovalori mi pare, ma mi trovo sempre male a scrivere la matrice in base all'equazione...
help please
Risposte
2) a occhio è un'iperbole. Completa i quadrati per ridurla in forma canonica, è abbastanza semplice. (il completamento dei quadrati funziona solo se manca il termine rettangolare xy)
è abbastanza semplice lo so ma non ho capito l ostesso cosa è il completamente dei quadrati...
cmq si è un iperbole...
ma non ho capito l ostesso cosa è il completamente dei quadrati...cmq si è un iperbole...
Il completamento del quadrato significa questo :
se tu hai ( come nel caso tuo ) : y^2+y lo puoi far diventare un quadrato, naturalmente togliendo quanto è necessario per ripristinare l'espressione iniziale .
y^2+y lo puoi vedere come : ( y+1/2)^2 -1/4 .
Ad esempio il metodo del completamento del quadrato è stato usato per determinare la formula risolutiva dell'equazione di secondo grado.
x^2+bx+c = 0
lo trasformi in :
(x+b/2)^2 -b^2/4 +c = 0 da cui :
x+b/2 = +-sqrt(b^2-4c/4) e quindi : x+b/2 = +- (1/2)*sqrt(b^2-4c) e finalmente :
x= (-b/+- sqrt(b^2-4c))/2 .
se tu hai ( come nel caso tuo ) : y^2+y lo puoi far diventare un quadrato, naturalmente togliendo quanto è necessario per ripristinare l'espressione iniziale .
y^2+y lo puoi vedere come : ( y+1/2)^2 -1/4 .
Ad esempio il metodo del completamento del quadrato è stato usato per determinare la formula risolutiva dell'equazione di secondo grado.
x^2+bx+c = 0
lo trasformi in :
(x+b/2)^2 -b^2/4 +c = 0 da cui :
x+b/2 = +-sqrt(b^2-4c/4) e quindi : x+b/2 = +- (1/2)*sqrt(b^2-4c) e finalmente :
x= (-b/+- sqrt(b^2-4c))/2 .
mm ok vedo di capirci qualcosa...
Normalmente all'Universita' la forma canonica
di una conica non si ottiene col completamento
del quadrato (anche perche' questo procedimento
dipende molto dalla forma dell'equazione) ma facendo
uso degli autovalori e degli autospazi o con
procedimenti similari.
La matrice A associata alla conica e':
0...1...2
1...0...-1
0...-1...-6
il cui det. e'=4, diverso da 0 (conica non degenere)
Il minore A33 e':
0...1
1...0
il cui det. e' -1<0 (iperbole).
Troviamo gli autovalori:
-L...1
1...-L
Eguagliando a zero risulta:
L^2-1=0--->L1=-1,L2=+1
Troviamo gli autospazi associati:
Per L1 si ha l'autospazio V1:x+y=0 da cui
ponendo y=1 risulta x=-1
La base di V1 e' quindi: B1={(-1,1)}, la cui forma normalizzata
e' B'1={(-1/sqrt(2),1/sqrt(2)}
Procedendo in maniera analoga,si ottiene l'altro
autospazio V2:x-y=0 e la base normalizzata B'2={(1/sqrt(2),1/sqrt(2)}
Troviamo ora il centro della iperbole:
A11=-1,A22=2,A33=-1 e quindi il centro e':C(1,-2).
Infine eseguiamo la trasformazione:
x=-x'/sqrt(2)+y'/sqrt(2)+1
y=x'/sqrt(2)+y'/sqrt(2)-2
Sostituendo nella equazione iniziale della conica e
facendo i calcoli,si trova l'equazione canonica:
y'^2-x'^2=6
karl.
di una conica non si ottiene col completamento
del quadrato (anche perche' questo procedimento
dipende molto dalla forma dell'equazione) ma facendo
uso degli autovalori e degli autospazi o con
procedimenti similari.
La matrice A associata alla conica e':
0...1...2
1...0...-1
0...-1...-6
il cui det. e'=4, diverso da 0 (conica non degenere)
Il minore A33 e':
0...1
1...0
il cui det. e' -1<0 (iperbole).
Troviamo gli autovalori:
-L...1
1...-L
Eguagliando a zero risulta:
L^2-1=0--->L1=-1,L2=+1
Troviamo gli autospazi associati:
Per L1 si ha l'autospazio V1:x+y=0 da cui
ponendo y=1 risulta x=-1
La base di V1 e' quindi: B1={(-1,1)}, la cui forma normalizzata
e' B'1={(-1/sqrt(2),1/sqrt(2)}
Procedendo in maniera analoga,si ottiene l'altro
autospazio V2:x-y=0 e la base normalizzata B'2={(1/sqrt(2),1/sqrt(2)}
Troviamo ora il centro della iperbole:
A11=-1,A22=2,A33=-1 e quindi il centro e':C(1,-2).
Infine eseguiamo la trasformazione:
x=-x'/sqrt(2)+y'/sqrt(2)+1
y=x'/sqrt(2)+y'/sqrt(2)-2
Sostituendo nella equazione iniziale della conica e
facendo i calcoli,si trova l'equazione canonica:
y'^2-x'^2=6
karl.
ecco si mi serviva proprio il procedimento di karl
emh karl, scusa ti dispiace spiegarmi come hai fatto a scrivere la matrice ?
al posto del 6 non ci doveva essere il -3 ?
potresti farmi anke una sorta di esempio generale per scrivere matrici avendo a disposizione l'equazione della quadrica ?
grazie !
al posto del 6 non ci doveva essere il -3 ?
potresti farmi anke una sorta di esempio generale per scrivere matrici avendo a disposizione l'equazione della quadrica ?
grazie !
Sarebbe davvero interessante, il mio libro su questo argomento è un pò troppo criptico
anke sul mio purtroppo ! non capisco perchè li fanno così !
Ma tu che facoltà fai?
Io ing chimica, e il prof sembrava anche molto scocciato di non fare lezione a dei matematici
Io ing chimica, e il prof sembrava anche molto scocciato di non fare lezione a dei matematici
io faccio ing. informatica... però dato che i miei professori sono gli stessi di quelli di matematica, in realtà faccio quasi il loro stesso programma...
non hanno capito che siamo ingegneri e non matematici
non hanno capito che siamo ingegneri e non matematici
Già, la penso così anch'io
L'equazione di una conica ( le quadriche sono un'altra cosa!) si
scrive cosi:
A11*x^2+2*A12*xy+A22*y^2+2*A13*x+2*A23*y+A33=0
La matrice associata alla conica e':
A11...A12...A13
A12...A22...A23
A13...A23...A33
quindi:
A11=coefficiente di x^2
A12=meta' del coefficiente di xy
A13=meta' del coefficiente di x
A22=coefficiente di y^2
A23=meta' del coefficiente di y
A33=termine noto.
Se e' necessario,per evitare di prendere valori frazionari si puo'
preventivamente moltiplicare l'equazione della conica per 2
ed e' quello che ho fatto io nel caso del tuo esercizio.
(Ci sono anche altri metodi)
karl.
scrive cosi:
A11*x^2+2*A12*xy+A22*y^2+2*A13*x+2*A23*y+A33=0
La matrice associata alla conica e':
A11...A12...A13
A12...A22...A23
A13...A23...A33
quindi:
A11=coefficiente di x^2
A12=meta' del coefficiente di xy
A13=meta' del coefficiente di x
A22=coefficiente di y^2
A23=meta' del coefficiente di y
A33=termine noto.
Se e' necessario,per evitare di prendere valori frazionari si puo'
preventivamente moltiplicare l'equazione della conica per 2
ed e' quello che ho fatto io nel caso del tuo esercizio.
(Ci sono anche altri metodi)
karl.
grazie karl... tutto chiaro
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