Quadriche
Salve a tutti avrei un problema con alcuni pezzi di un esercizio che ora posto
In E3(C) (spazio ampliato e complessificato) si riconosca la quadrica Q : $x^2-2xy-z^2+4y+1=0$ stabilendo la natura dei suoi punti semplici.
Risposta Iperboloide iperbolico
Tutto ok tranne il fatto che dopo aver riconosciuto che la quadrica è generale e il determinate di A* diverso da zero (A* intendo la quadrica intersecata con il piano improprio) può essere un ellissoide o un iperboloide e questo se la conica impropria (data dall'intersezione della quadrica con il piano improprio) è irriducibile e dotata di punti reali (iperboloide) o priva di punti reali (ellissoide). Visto che la conica impropria in coordinate omogenee mi risulta $x_1^2-2x_1x_2+x_3^2$ ho supposto i punti reali solo che non riesco a convincermi da solo.
Si riconosca la sezione della quadrica Q con il piano $π : x + y = 0$, precisando nel caso in cui la sezione sia riducibile una
rappresentazione cartesiana delle rette che la compongono.
Risposta Iperbole
Tutto chiaro
Si determini un’equazione cartesiana del piano α passante per $P = (0, 0, 1)$ tale che la sezione $Q ∩ α$ sia riducibile.
Risposta $x − 2y + z − 1 = 0$
Quest'ultimo punto mi spiazza, o meglio ciò che so è che una quadrica intersecata con un piano (a meno che il piano non sia componente la quadrica dal secondo teorema dell'ordine) da una conica e una conica è riducibile se, e soltanto se, ha almeno un punto doppio. Il problema è che non so dove ricavare quel piano.
Grazie a tutti quelli che avranno cura di leggere e, soprattutto, rispondere.
Andrea
In E3(C) (spazio ampliato e complessificato) si riconosca la quadrica Q : $x^2-2xy-z^2+4y+1=0$ stabilendo la natura dei suoi punti semplici.
Risposta Iperboloide iperbolico
Tutto ok tranne il fatto che dopo aver riconosciuto che la quadrica è generale e il determinate di A* diverso da zero (A* intendo la quadrica intersecata con il piano improprio) può essere un ellissoide o un iperboloide e questo se la conica impropria (data dall'intersezione della quadrica con il piano improprio) è irriducibile e dotata di punti reali (iperboloide) o priva di punti reali (ellissoide). Visto che la conica impropria in coordinate omogenee mi risulta $x_1^2-2x_1x_2+x_3^2$ ho supposto i punti reali solo che non riesco a convincermi da solo.
Si riconosca la sezione della quadrica Q con il piano $π : x + y = 0$, precisando nel caso in cui la sezione sia riducibile una
rappresentazione cartesiana delle rette che la compongono.
Risposta Iperbole
Tutto chiaro
Si determini un’equazione cartesiana del piano α passante per $P = (0, 0, 1)$ tale che la sezione $Q ∩ α$ sia riducibile.
Risposta $x − 2y + z − 1 = 0$
Quest'ultimo punto mi spiazza, o meglio ciò che so è che una quadrica intersecata con un piano (a meno che il piano non sia componente la quadrica dal secondo teorema dell'ordine) da una conica e una conica è riducibile se, e soltanto se, ha almeno un punto doppio. Il problema è che non so dove ricavare quel piano.
Grazie a tutti quelli che avranno cura di leggere e, soprattutto, rispondere.
Andrea
Risposte
Forse sbaglio ma per la seconda parte dell'esercizio la risposta esatta non è che il piano $\alpha$ sia $2y-z+1=0$
e non $x+2y-z+1=0$?
e non $x+2y-z+1=0$?
Ciao Sandro. Intanto grazie.
Ho controllato ed è corretto come l'ho scritto (con la $x$)
Ho controllato ed è corretto come l'ho scritto (con la $x$)
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