Quadrica regolare e/o rigata
Buongiorno,
$3X^2+(1+k)Y^2+(1-k)Z^2+1=0,k in RR-{+-1}$ è una quadrica generale in forma canonica. Come stabilisco se è regolare/rigata!?
Grazie.
$3X^2+(1+k)Y^2+(1-k)Z^2+1=0,k in RR-{+-1}$ è una quadrica generale in forma canonica. Come stabilisco se è regolare/rigata!?
Grazie.
Risposte
Con regolare intendi non degenere? In tal caso devi studiare il determinante della forma quadratica associata, è una procedura standard.
Per controllare se è rigata, devi classificare il tipo di quadrica al variare del parametro. Ricorda che le uniche quadriche rigate non degeneri sono l'iperboloide a una falda e il paraboloide iperbolico, mentre le quadriche degeneri (coni, cilindri e unioni di piani incidenti/paralleli/coincidenti) sono tutte rigate.
Per controllare se è rigata, devi classificare il tipo di quadrica al variare del parametro. Ricorda che le uniche quadriche rigate non degeneri sono l'iperboloide a una falda e il paraboloide iperbolico, mentre le quadriche degeneri (coni, cilindri e unioni di piani incidenti/paralleli/coincidenti) sono tutte rigate.
Grazie per la risposta, dunque:
- tra le quadriche generali (non degeneri), l'unica rigata è l'iperboloide ad una falda;
- le quadriche degeneri sono tutte rigate.
No, l'esercizio parla proprio di "superficie regolare". Purtroppo non ho più il testo, ma ricordo bene fosse di questo tipo: data la quadrica $...$, determinare per quali valori di $k$ è generale ed in caso determinarne la forma canonica; stabilire altresì se è una superficie regolare e/o rigata. Grazie.
- tra le quadriche generali (non degeneri), l'unica rigata è l'iperboloide ad una falda;
- le quadriche degeneri sono tutte rigate.
No, l'esercizio parla proprio di "superficie regolare". Purtroppo non ho più il testo, ma ricordo bene fosse di questo tipo: data la quadrica $...$, determinare per quali valori di $k$ è generale ed in caso determinarne la forma canonica; stabilire altresì se è una superficie regolare e/o rigata. Grazie.
E non avete dato una definizione di superificie regolare? In ogni caso, in genere, con superficie regolare si intende una superficie che non ha singolarità, dove le singolarità sono punti in cui non è possibile definire lo spazio tangente. E questo può essere fatto sia dal punto di vista differenziale che dal punto di vista algebrico 
In ogni caso, "a occhio" credo che le quadriche regolari siano tutte, tranne coni (per via del vertice) e piani incidenti (per via dell'intersezione).
In ogni caso, "a occhio" credo che le quadriche regolari siano tutte, tranne coni (per via del vertice) e piani incidenti (per via dell'intersezione).
OK, grazie.
Figurati. Comunque in questo caso, il modo più veloce di verificarlo è scrivere il gradiente del polinomio e verificare per quali valori di k non si annulla in nessun punto della superficie.
In conclusione, data la quadrica in forma canonica $3X^2+(1+k)Y^2+(1-k)Z^2=-1, k in RR$, stabilire per quali valori di $k$ è regolare e/o rigata.
$f=3X^2+(1+k)Y^2+(1-k)Z^2 rarr gradf=((6X),(2(1+k)Y),(2(1-k)Z))$
Il gradiente si annulla se e solo se:
- $X=Y=Z=0$;
- $X=Y=0,k=1$;
- $X=Z=0,k=-1$.
In queste situazioni, $f=0$. Quindi $f=-1$ è regolare $AAk$. Inoltre, se $k=+-1$, la quadrica è degenere (l'avevo dimostrato in precedenza) e quindi rigata. Le quadriche generali rigate sono l'iperboloide a una falda (iperbolico) ed il paraboloide iperbolico, ma non si hanno questi casi per alcun valore di $k$. Ho capito ora?
Grazie.
$f=3X^2+(1+k)Y^2+(1-k)Z^2 rarr gradf=((6X),(2(1+k)Y),(2(1-k)Z))$
Il gradiente si annulla se e solo se:
- $X=Y=Z=0$;
- $X=Y=0,k=1$;
- $X=Z=0,k=-1$.
In queste situazioni, $f=0$. Quindi $f=-1$ è regolare $AAk$. Inoltre, se $k=+-1$, la quadrica è degenere (l'avevo dimostrato in precedenza) e quindi rigata. Le quadriche generali rigate sono l'iperboloide a una falda (iperbolico) ed il paraboloide iperbolico, ma non si hanno questi casi per alcun valore di $k$. Ho capito ora?
Grazie.
Per quanto rigurada le rigate, in effetti avevo dimenticato il paraboloide iperbolico prima. Ora correggo 
Comunque quanto dici è giusto.
Comunque quanto dici è giusto.
Perfetto, grazie.
FIgurati
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