Quadrica non degenere - Punti ellittici
Salve a tutti,
nel mio studio di Geometria 2, in particolare delle quadriche, non riesco a capire un qualcosa che mi pare sia stato dato per scontato e di cui vorrei conoscere la ragione profonda. In particolare, il dubbio è il seguente. Perché diciamo:
Quando una quadrica non degenere ha il determinate della matrice associata a Q>0, se ci sono punti reali allora essi sono iperbolici. Se il determinante della matrice associata è minore di zero, allora i punti reali ci sono e sono ellittici.
?
Come ho cercato di far comprendere col grassetto il mio dubbio è in merito all'esistenza dei punti reali, cosa di cui si può affermare la presenza se ci sono punti ellittici, viceversa non si può dedurre se vi siano o meno se sono iperbolici.
Una possibile idea cui penso è che due rette immaginarie coniugate (quindi punto ellittico) si intersecano in un punto reale, ma non riesco a far quadrare il ragionamento.
Grazie a chiunque voglia darmi una mano
nel mio studio di Geometria 2, in particolare delle quadriche, non riesco a capire un qualcosa che mi pare sia stato dato per scontato e di cui vorrei conoscere la ragione profonda. In particolare, il dubbio è il seguente. Perché diciamo:
Quando una quadrica non degenere ha il determinate della matrice associata a Q>0, se ci sono punti reali allora essi sono iperbolici. Se il determinante della matrice associata è minore di zero, allora i punti reali ci sono e sono ellittici.
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Come ho cercato di far comprendere col grassetto il mio dubbio è in merito all'esistenza dei punti reali, cosa di cui si può affermare la presenza se ci sono punti ellittici, viceversa non si può dedurre se vi siano o meno se sono iperbolici.
Una possibile idea cui penso è che due rette immaginarie coniugate (quindi punto ellittico) si intersecano in un punto reale, ma non riesco a far quadrare il ragionamento.
Grazie a chiunque voglia darmi una mano
Risposte
Io la classificazione delle quadriche la studiai in maniera puramente geometrica, evitando per quanto possibile l'algebra lineare; quindi non conosco quella caratterizzazione.
Però, considera la "sfera puramente immaginaria" \(\displaystyle x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2=0\) in \(\displaystyle\mathbb{P}^3_{\mathbb{C}}\): cosa puoi\sai dire?
Però, considera la "sfera puramente immaginaria" \(\displaystyle x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2=0\) in \(\displaystyle\mathbb{P}^3_{\mathbb{C}}\): cosa puoi\sai dire?
Grazie per la risposta! Nel caso della sfera (immaginaria) non l'ho fatta approfonditamente, anzi. Ne abbiamo visto la costruzione di una particolare fissando un centro e un raggio. Posso dire che la matrice associata ha determinante diverso da zero, quindi non ci sono punti doppi e dunque è una quadrica non degenere.
Comunque credo di aver capito perché se una quadrica ha punti ellittici si può dire con certezza che ci sono. Le quadriche a punti ellittici sono (quindi DetA<0): Se la conica all'infinito è non degenere a punti reali allora Iperboloide Ellittico (ci sono punti reali perché sono nella conica all'infinito), se la conica all'infinito è non degenere e senza punti reali allora è un ellissoide ordinario (perché solo questi ha punti immaginari), se la conica è degenere è un paraboloide, quindi sia che siano due rette coniugate che due rette reali c'è almeno un punto reale (paraboloide ellittico).
Comunque credo di aver capito perché se una quadrica ha punti ellittici si può dire con certezza che ci sono. Le quadriche a punti ellittici sono (quindi DetA<0): Se la conica all'infinito è non degenere a punti reali allora Iperboloide Ellittico (ci sono punti reali perché sono nella conica all'infinito), se la conica all'infinito è non degenere e senza punti reali allora è un ellissoide ordinario (perché solo questi ha punti immaginari), se la conica è degenere è un paraboloide, quindi sia che siano due rette coniugate che due rette reali c'è almeno un punto reale (paraboloide ellittico).
"StefanoF":Questo non è vero!, che io ricordi...
...se la conica [all'infinito, NdR] è degenere è un paraboloide, quindi sia che siano due rette coniugate che due rette reali c'è almeno un punto reale (paraboloide ellittico).
Perché no? I punti della conica all'infinito sono punti anche della quadrica stando nell'intersezione.
Veramente può essere un paraboloide ellittico solo se la conica impropria è l'unione di due rette complesse coniugate; altrimenti, se si tratta di due rette reali distinte hai un paraboloide iperbolico. 
O sbaglio?
O sbaglio?
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