Punto notevole su intersezione cilindri
Salve a tutti
Presento un problema legato al calcolo del percorso utensile in macchine CNC.
Occorre calcolare il punto notevole con Z massima che giace sulla linea chiusa intersezione di due cilindri noti
Ho rappresentato con geogebra il problema
[ggb]https://www.geogebra.org/m/hmypfk52[/ggb]
un cilindro è:
${(x^2 +z^2 = r^2,),(y,\forall):}$
con r noto
l'altro cilindro è
${((x-d)^2 +y^2 = R^2,),(z,\forall):}$
con R e d noti
in aggiunta questo secondo è ruotato attorno all'asse X di un angolo pari a b anch' esso noto
Il problema è trovare il punto sulla circonferenza in nero nel disegno geogebra
che sia con Z massima, in forma chiusa
Mi scuso in anticipo per la presentazione "rozza" del quesito
ma sono alcuni decenni ormai che ho frequentato i corsi di geometria ed analisi matematica
e mi ritrovo veramente "arrugginito".
Ringrazio in anticipo chi vorrà aiutarmi anche ad impostare il problema.
Grazie
Presento un problema legato al calcolo del percorso utensile in macchine CNC.
Occorre calcolare il punto notevole con Z massima che giace sulla linea chiusa intersezione di due cilindri noti
Ho rappresentato con geogebra il problema
[ggb]https://www.geogebra.org/m/hmypfk52[/ggb]
un cilindro è:
${(x^2 +z^2 = r^2,),(y,\forall):}$
con r noto
l'altro cilindro è
${((x-d)^2 +y^2 = R^2,),(z,\forall):}$
con R e d noti
in aggiunta questo secondo è ruotato attorno all'asse X di un angolo pari a b anch' esso noto
Il problema è trovare il punto sulla circonferenza in nero nel disegno geogebra
che sia con Z massima, in forma chiusa
Mi scuso in anticipo per la presentazione "rozza" del quesito
ma sono alcuni decenni ormai che ho frequentato i corsi di geometria ed analisi matematica
e mi ritrovo veramente "arrugginito".
Ringrazio in anticipo chi vorrà aiutarmi anche ad impostare il problema.
Grazie
Risposte
Complimenti intanto per la simulazione in Geogebra. Notevole !
Veniamo al tuo problema.
Se ho capito bene abbiamo 2 cilindri disposti in questo modo:
cilindro A)
Asse cilindro coincidente con l'asse $y$.
Raggio $r$.
cilindro B)
Asse cilindro che varia in base a un angolo $\alpha$.
Se $\alpha = 0$ l'asse e' parallelo all'asse $z$.
Se $\alpha = 90^$ l'asse e' parallelo all'asse $y$.
In ogni caso l'asse del cilindro interseca l'asse $x$ nel punto $(d, 0, 0)$
Raggio cilindro $R$.
Si vuole trovare il punto comune tra i due cilindri che massimizza la coordinata $z$.
Allora, siccome il problema è trovare la $z$ massima, facciamo una sezione dello spazio
su un piano arbitrario (che però intersechi i due cilindri) $z = z_k$.
Ora, come appare il cilindro A ?
Appare come due righe parallele all'asse $y$. Simmetriche rispetto all'asse $y$.
per il momento non ci preoccupiamo della loro distanza dall'asse $y$.
Come appare il cilindro B ?
Se $\alpha = 0$ ovviamente appare come un cerchio di raggio $r$ e centro $(d, 0)$, ma se $\alpha > 0$ ?
Se $\alpha > 0$, appare come un'ellisse di semiassi $R$ e $R / \cos \alpha$ e di centro $(d, z_k \tan \alpha)$.
NB. In realta' i semiassi sono i "semi-raggi" dell'ellisse.
Il fatto interessante e' che il semi-raggio fisso, quello lungo $R$, è quello orientato lungo $x$, che punta verso l'altro cilindro.
L'ellisse si sposta lungo $y$ man mano che cambia la sezione del piano $z$ che abbiamo fatto, ad una coordinata $z_k$. Ma questo non ci preoccupa, siccome l'intersezione dell'ellisse con le due righe del cilindro A non si modifica nella forma.
Ora cerchiamo il punto in cui l'ellisse e' tangente alla riga più vicina.
Le due righe del cilindro A sono ad una distanza $\sqrt(r^2-z_k^2)$ dall'asse $y$.
Il punto dell'ellisse più vicino all'asse $y$ e' a distanza $d-R$.
Quindi
$\sqrt(r^2-z_k^2) = d-R$
$r^2-z_k^2 = (d-R)^2$
$z_k = \sqrt(r^2 - (d-R)^2)$
Ecco, questa $z_k$ e' la coordinata $z$ massima che cercavi.
E' abbastanza sorprendente che non dipenda dall'angolo $\alpha$.
Siamo stati fortunati che la rotazione del cilindro B e' lungo l'asse $x$.
Se fosse stato ruotato secondo un'altra direzione, tutto sarebbe piu' complicato.
Se non e' chiaro o se l'impostazione del problema e' diversa, dimmelo.
Tranquillo che l'impostazione e' tutt'altro che rozza e le tue conoscenze sono ancora valide.
Veniamo al tuo problema.
Se ho capito bene abbiamo 2 cilindri disposti in questo modo:
cilindro A)
Asse cilindro coincidente con l'asse $y$.
Raggio $r$.
cilindro B)
Asse cilindro che varia in base a un angolo $\alpha$.
Se $\alpha = 0$ l'asse e' parallelo all'asse $z$.
Se $\alpha = 90^$ l'asse e' parallelo all'asse $y$.
In ogni caso l'asse del cilindro interseca l'asse $x$ nel punto $(d, 0, 0)$
Raggio cilindro $R$.
Si vuole trovare il punto comune tra i due cilindri che massimizza la coordinata $z$.
Allora, siccome il problema è trovare la $z$ massima, facciamo una sezione dello spazio
su un piano arbitrario (che però intersechi i due cilindri) $z = z_k$.
Ora, come appare il cilindro A ?
Appare come due righe parallele all'asse $y$. Simmetriche rispetto all'asse $y$.
per il momento non ci preoccupiamo della loro distanza dall'asse $y$.
Come appare il cilindro B ?
Se $\alpha = 0$ ovviamente appare come un cerchio di raggio $r$ e centro $(d, 0)$, ma se $\alpha > 0$ ?
Se $\alpha > 0$, appare come un'ellisse di semiassi $R$ e $R / \cos \alpha$ e di centro $(d, z_k \tan \alpha)$.
NB. In realta' i semiassi sono i "semi-raggi" dell'ellisse.
Il fatto interessante e' che il semi-raggio fisso, quello lungo $R$, è quello orientato lungo $x$, che punta verso l'altro cilindro.
L'ellisse si sposta lungo $y$ man mano che cambia la sezione del piano $z$ che abbiamo fatto, ad una coordinata $z_k$. Ma questo non ci preoccupa, siccome l'intersezione dell'ellisse con le due righe del cilindro A non si modifica nella forma.
Ora cerchiamo il punto in cui l'ellisse e' tangente alla riga più vicina.
Le due righe del cilindro A sono ad una distanza $\sqrt(r^2-z_k^2)$ dall'asse $y$.
Il punto dell'ellisse più vicino all'asse $y$ e' a distanza $d-R$.
Quindi
$\sqrt(r^2-z_k^2) = d-R$
$r^2-z_k^2 = (d-R)^2$
$z_k = \sqrt(r^2 - (d-R)^2)$
Ecco, questa $z_k$ e' la coordinata $z$ massima che cercavi.
E' abbastanza sorprendente che non dipenda dall'angolo $\alpha$.
Siamo stati fortunati che la rotazione del cilindro B e' lungo l'asse $x$.
Se fosse stato ruotato secondo un'altra direzione, tutto sarebbe piu' complicato.
Se non e' chiaro o se l'impostazione del problema e' diversa, dimmelo.
Mi scuso in anticipo per la presentazione "rozza" del quesito
ma sono alcuni decenni ormai che ho frequentato i corsi di geometria ed analisi matematica
e mi ritrovo veramente "arrugginito".
Tranquillo che l'impostazione e' tutt'altro che rozza e le tue conoscenze sono ancora valide.
Grazie Quinzio,
Tutto chiarissimo, perfetto, hai colpito nel segno!
grazie per la trattazione, complimenti !!!
Come controprova ho ricostruito la simulazione con geogebra e tutto torna.
Ecco qua:
[ggb]https://www.geogebra.org/m/wadsx2rc[/ggb]
Grazie ancora
Saluti
Paolo
Tutto chiarissimo, perfetto, hai colpito nel segno!
grazie per la trattazione, complimenti !!!
Come controprova ho ricostruito la simulazione con geogebra e tutto torna.
Ecco qua:
[ggb]https://www.geogebra.org/m/wadsx2rc[/ggb]
Grazie ancora
Saluti
Paolo
[ot]Mi unisco ai complimenti per l'utilizzo dell'Applet! 
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