Punto non chiaro dimostrazione teorema della dimensione di una base.
C'è un punto nella dimostrazione di questo teorema che proprio non mi è chiaro:
L'enunciato è "se uno spazio ammette una base finita, allora ogni sua base è finita, e il numero di elementi è lo stesso per ogni base". La dimostrazione parte scegliendo un sistema generatore $u^1,u^2,....,u^r$ e un insieme di vettori l.i. $v^1,v^2,.....,v^s$
Penso che voi matematici conosciate la dimostrazione (si considerano i vettori $u^1,u^2,....,u^n,v^1$, si osserva che è ancora un sistema generatore, si elimina il vettore c.l. dei precedenti e al suo posto si aggiunge $v^2$ e così via, fino a quello che dovrebbe essere l'assurdo).
A questo punto si dice che i vettori $u^i$ non possono esaurirsi prima dei $v^i$ perchè in tal caso si perverrebbe a un sistema generatore (?) che non conterrebbe più alcun vettore $u^i$; inoltre il vettore $v^s$ rimasto, non aggiunto, è c.l. del sistema, cosa impossibile perchè l.i. Quindi $r>=s$
Ma come fa a essere un sistema generatore, se è composto solo da vettori l.i.? Chi me lo assicura?
L'enunciato è "se uno spazio ammette una base finita, allora ogni sua base è finita, e il numero di elementi è lo stesso per ogni base". La dimostrazione parte scegliendo un sistema generatore $u^1,u^2,....,u^r$ e un insieme di vettori l.i. $v^1,v^2,.....,v^s$
Penso che voi matematici conosciate la dimostrazione (si considerano i vettori $u^1,u^2,....,u^n,v^1$, si osserva che è ancora un sistema generatore, si elimina il vettore c.l. dei precedenti e al suo posto si aggiunge $v^2$ e così via, fino a quello che dovrebbe essere l'assurdo).
A questo punto si dice che i vettori $u^i$ non possono esaurirsi prima dei $v^i$ perchè in tal caso si perverrebbe a un sistema generatore (?) che non conterrebbe più alcun vettore $u^i$; inoltre il vettore $v^s$ rimasto, non aggiunto, è c.l. del sistema, cosa impossibile perchè l.i. Quindi $r>=s$
Ma come fa a essere un sistema generatore, se è composto solo da vettori l.i.? Chi me lo assicura?
Risposte
"momo1":
Ma come fa a essere un sistema generatore, se è composto solo da vettori l.i.? Chi me lo assicura?
Ciao.
Senza entrare (almeno per il momento) nel merito delle argomentazioni riportate nella dimostrazione, mi permetto di chiarire un punto.
Se un sistema di vettori genera uno spazio, il fatto che lo spazio sia generato da quei vettori non c'entra nulla con il fatto che i vettori siano o non siano linearmente indipendenti.
Avendo dei vettori $v_1,...,v_n$ che generano uno spazio $V$ (quindi $V=mathcalL{v_1,...,v_n}$) i casi sono due:
1) i vettori $v_1,...,v_n$ sono linearmente dipendenti; in questo caso almeno uno dei vettori elencati è esprimibile come combinazione lineare degli altri, quindi, eliminando tale vettore dall'elenco dei generatori, si ha che i vettori "superstiti" continuano a generare lo stesso spazio $V$. Esempio banale:
Siano $(1,1),(2,2)inRR^2$ e sia $V=mathcalL{(1,1),(2,2)}$; è evidente che i due vettori sono linearmente dipendenti (sono uno multiplo dell'altro); infatti vale
$V=mathcalL{(1,1),(2,2)}=mathcalL{(1,1)}=mathcalL{(2,2)}$
2) i vettori $v_1,...,v_n$ sono linearmente indipendenti; in questo caso, togliendo anche un solo vettore dall'elenco dei generatori, lo spazio ottenuto non coincide più con quello generato da tutti i vettori.
Quindi, quando i vettori sono linearmente indipendenti, il loro numero costituisce il numero minimo di generatori che si deve avere per poter generare lo spazio di partenza.
Non so se io abbia reso l'idea.
Saluti.
Ciao, innanzitutto grazie per la risposta.
Continuo a non capire perchè , nel momento in cui ho eliminato tutti i miei $u$ che per ipotesi sono un sistema di generatori, i vettori che rimangono, ovvero quelli aggiunti che sono l.i., sono dei generatori.
Continuo a non capire perchè , nel momento in cui ho eliminato tutti i miei $u$ che per ipotesi sono un sistema di generatori, i vettori che rimangono, ovvero quelli aggiunti che sono l.i., sono dei generatori.
Ciao.
Continuo appositamente a non entrare nel merito della dimostrazione, dato che il mio intento è solo quello di offrire uno spunto su cui riflettere.
Forse è meglio procedere con un esempio:
Siano $v_1=(1,2,0),v_2=(-1,4,3),v_3=(0,6,3)inRR^3$ e sia $V=mathcalL{v_1,v_2,v_3}$.
Dal momento che $v_3=v_1+v_2$, significa che i tre vettori sono linearmente dipendenti, quindi, eliminando il vettore $v_3$ dall'elenco dei generatori, lo spazio generato non cambia:
$V=mathcalL{v_1,v_2,v_3}=mathcalL{v_1,v_2}$
I vettori "superstiti" $v_1,v_2$ sono chiaramente linearmente indipendenti, per cui quei due vettori sono i vettori strettamente indispensabili per continuare a generare lo stesso spazio $V$; eliminando uno qualunque dei due vettori, lo spazio generato dall'unico vettore rimasto non coinciderà più con $V$, ma sarà più piccolo di $V$ stesso; varrà, quindi
$mathcalL{v_1} sub V$
$mathcalL{v_2} sub V$
Spero di aver meglio chiarito.
Saluti.
Continuo appositamente a non entrare nel merito della dimostrazione, dato che il mio intento è solo quello di offrire uno spunto su cui riflettere.
Forse è meglio procedere con un esempio:
Siano $v_1=(1,2,0),v_2=(-1,4,3),v_3=(0,6,3)inRR^3$ e sia $V=mathcalL{v_1,v_2,v_3}$.
Dal momento che $v_3=v_1+v_2$, significa che i tre vettori sono linearmente dipendenti, quindi, eliminando il vettore $v_3$ dall'elenco dei generatori, lo spazio generato non cambia:
$V=mathcalL{v_1,v_2,v_3}=mathcalL{v_1,v_2}$
I vettori "superstiti" $v_1,v_2$ sono chiaramente linearmente indipendenti, per cui quei due vettori sono i vettori strettamente indispensabili per continuare a generare lo stesso spazio $V$; eliminando uno qualunque dei due vettori, lo spazio generato dall'unico vettore rimasto non coinciderà più con $V$, ma sarà più piccolo di $V$ stesso; varrà, quindi
$mathcalL{v_1} sub V$
$mathcalL{v_2} sub V$
Spero di aver meglio chiarito.
Saluti.
momo1, è ovvio che in tutti gli step hai un insieme di generatori, perché all'inizio hai un insieme di generatori, e poi ad ogni passo sostituisci un vettore "inutile" (cioè combinazione lineare di altri). Cioè ogni sostituzione ti porta da un insieme di generatori a un altro insieme di generatori.
Scusate, sono duro di comprendonio evidentemente..
Mi è chiaro che ad ogni step ottengo ancora un sistema generatore, perchè sto togliendo solo i vettori superflui, c.l. dei precedenti, come ha scritto Alessandro nell'esempio "concreto".
Ma nella parte finale della dimostrazione, supponendo che $r
Come faccio a dire che quello è un sistema generatore?
Per ipotesi non mi viene detto che sono basi i due insiemi di partenza, solamente che uno è generatore, l'altro è l.i.
Mi è chiaro che ad ogni step ottengo ancora un sistema generatore, perchè sto togliendo solo i vettori superflui, c.l. dei precedenti, come ha scritto Alessandro nell'esempio "concreto".
Ma nella parte finale della dimostrazione, supponendo che $r
Come faccio a dire che quello è un sistema generatore?Per ipotesi non mi viene detto che sono basi i due insiemi di partenza, solamente che uno è generatore, l'altro è l.i.
Ciao, momo1.
Forse ti potrebbe essere utile questo documento.
Ciò che ti dovrebbe interessare è nella sezione 7, a pagina 17 (teorema 1, con le proposizioni 1 e 2 associate).
Saluti.
Forse ti potrebbe essere utile questo documento.
Ciò che ti dovrebbe interessare è nella sezione 7, a pagina 17 (teorema 1, con le proposizioni 1 e 2 associate).
Saluti.
Grazie, ho capito, il mio dubbio era davvero stupido.. Quando arrivo a togliere l'ultimo $u^i$, i vettori l.i. rimanenti sono ovviamente dei generatori essendo esprimibili come c.l dei ${u^i}$ generatori per ipotesi, e l'assurdo è ovviamente che il vettore ancora da aggiungere sia c.l. dei vettori l.i.
Dico bene?
Dico bene?
Dovrebbe essere così.
Saluti.
Saluti.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo