Punto improprio della parabola
Questa domanda non riguarda alcun esercizio in particolare ma per me ha una certa rilevanza teorica.
Non riesco a venire totalmente a capo del fatto che il punto improprio di una parabola y=ax^2 è x=0 (ad essere precisi, sono due punti coincidenti).
Come dovrei pensare al punto improprio? Fino ad ora ho pensato ai punti impropri come punti ottenuti facendo il "limite" per tutte le loro variabili indipendenti tendenti a infinito. So che spesso non si parla neanche di funzioni con le coniche ma lasciatemelo dire.
La mia prof si è limitata a descrivere un procedimento tecnico con cui trovare i punti impropri che consiste nel introdurre un'altra variabile indipendente t all'equazione del luogo dei punti di partenza, da porre nei termini di grado non massimo affinché diventino di grado massimo.
Ad esempio, nell'equazione di una generica conica, lei porrebbe t nei termini di primo grado in x, y e z, e t^2 al termine noto.
Infine porrebbe t=0.
Con questo trucchetto non ci sto un secondo a stabilire il punto improprio della parabola (analogamente facendo quello pseudo limite) ma continuo a non capire come possa essere un punto dell'asse (come se la parabola convergesse all'infinito! Ma ovviamente non converge).
Se volessi dare un senso geometrico nel piano o nello spazio ai punti impropri di una parabola, quale dovrebbe essere?
Sono particolarmente curioso di sapere anche perché risultano coincidenti.
Non riesco a venire totalmente a capo del fatto che il punto improprio di una parabola y=ax^2 è x=0 (ad essere precisi, sono due punti coincidenti).
Come dovrei pensare al punto improprio? Fino ad ora ho pensato ai punti impropri come punti ottenuti facendo il "limite" per tutte le loro variabili indipendenti tendenti a infinito. So che spesso non si parla neanche di funzioni con le coniche ma lasciatemelo dire.
La mia prof si è limitata a descrivere un procedimento tecnico con cui trovare i punti impropri che consiste nel introdurre un'altra variabile indipendente t all'equazione del luogo dei punti di partenza, da porre nei termini di grado non massimo affinché diventino di grado massimo.
Ad esempio, nell'equazione di una generica conica, lei porrebbe t nei termini di primo grado in x, y e z, e t^2 al termine noto.
Infine porrebbe t=0.
Con questo trucchetto non ci sto un secondo a stabilire il punto improprio della parabola (analogamente facendo quello pseudo limite) ma continuo a non capire come possa essere un punto dell'asse (come se la parabola convergesse all'infinito! Ma ovviamente non converge).
Se volessi dare un senso geometrico nel piano o nello spazio ai punti impropri di una parabola, quale dovrebbe essere?
Sono particolarmente curioso di sapere anche perché risultano coincidenti.
Risposte
I punti impropri sono i cosiddetti "punti all'infinito" della geometria proiettiva, e ce n'è uno per ogni direzione: informalmente, puoi pensare a un punto improprio come al punto che raggiungi muovendoti lungo una retta per un tempo infinito (tenendo presente che due rette parallele definiscono lo stesso punto improprio: osserva che in questo modo due rette distinte del piano, anche se parallele, hanno sempre un punto in comune); formalmente, l'introduzione di questi punti definisce il piano proiettivo (che in un certo senso estende il piano cartesiano), dove solitamente si lavora con le coordinate omogenee: ogni punto è rappresentato da una terna $[x,y,t] $ di numeri reali non tutti nulli, dove però due terne che si ottengono l'una dall'altra moltiplicando tutte le componenti per una costante non nulla rappresentano lo stesso punto, quindi ad esempio se $t \ne 0$ si ha $[x,y,t]=[x/t,y/t,1]$, che corrisponde al punto $(x/t,y/t) $ del piano cartesiano, mentre per $t=0$ si ha un punto improprio. Nel procedimento che hai descritto viene fatto esattamente questo: l'equazione cartesiana della parabola è $y/t=a (x/t)^2$ , e se moltiplichi tutto per $t^2$ ottieni proprio $ty=ax^2$, di cui trovi i punti impropri ponendo $t=0$ (viene $[0,1,0]$, che è il punto improprio dell'asse $y $).
Per dare un'interpretazione geometrica, puoi osservare che:
- in coordinate omogenee, un punto generico della parabola è $[x,ax^2,1]=[1/{ax},1,1/{ax^2}] $, che al limite per $x -> oo$ è proprio $[0,1,0] $: in generale è lecito vedere i punti impropri come punti limite, e il significato di tutto questo è che le rette verticali sono quelle che "approssimano meglio" la direzione di un punto che si muove lungo la parabola (non a caso, la retta tangente si avvicina sempre più ad essere una retta verticale);
- nel piano proiettivo, le equazioni delle rette continuano a essere quelle di primo grado (senza termine noto), e in particolare anche $t=0$ definisce una retta (l'insieme dei punti impropri), quindi non stiamo facendo altro che intersecare una conica con una retta, e ci sono tre casi: le ellissi e le circonferenze non intersecano la retta impropria in nessun punto, le iperboli la intersecano in due punti distinti (quelli individuati dagli asintoti), mentre le parabole la intersecano in un punto doppio.
Per dare un'interpretazione geometrica, puoi osservare che:
- in coordinate omogenee, un punto generico della parabola è $[x,ax^2,1]=[1/{ax},1,1/{ax^2}] $, che al limite per $x -> oo$ è proprio $[0,1,0] $: in generale è lecito vedere i punti impropri come punti limite, e il significato di tutto questo è che le rette verticali sono quelle che "approssimano meglio" la direzione di un punto che si muove lungo la parabola (non a caso, la retta tangente si avvicina sempre più ad essere una retta verticale);
- nel piano proiettivo, le equazioni delle rette continuano a essere quelle di primo grado (senza termine noto), e in particolare anche $t=0$ definisce una retta (l'insieme dei punti impropri), quindi non stiamo facendo altro che intersecare una conica con una retta, e ci sono tre casi: le ellissi e le circonferenze non intersecano la retta impropria in nessun punto, le iperboli la intersecano in due punti distinti (quelli individuati dagli asintoti), mentre le parabole la intersecano in un punto doppio.
oh grazie mille. Mi sembra di aver capito il mio errore a questo punto.
Il fatto che l'asse di simmetria della parabola contenga il punto improprio non significa che la parabola converga all'infinito (ovviamente assurdo) ma che l'angolazione dell'asse di simmetria approssima l'andamento dei rami all'infinito. Cioè i rami sarebbero paralleli tra loro e all'asse all'infinito.
Il che sarebbe diverso dal caso di rette parallele al finito, che convergono all'infinito se ho capito bene.
Il fatto che l'asse di simmetria della parabola contenga il punto improprio non significa che la parabola converga all'infinito (ovviamente assurdo) ma che l'angolazione dell'asse di simmetria approssima l'andamento dei rami all'infinito. Cioè i rami sarebbero paralleli tra loro e all'asse all'infinito.
Il che sarebbe diverso dal caso di rette parallele al finito, che convergono all'infinito se ho capito bene.
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