Punto fisso per omeomorfismi di un insieme del piano

[Reyzet]

Ciao, ho trovato questo esercizio, ma non ne vengo a capo, anche se magari è semplice.
Sia $\X={xy(x-y)(x^2-9)(y^2-4)=0}$, è vero che ogni omeomorfismo di X in sé stesso fissa l'origine?

Allora X è fatto di sette rette distinte, pensavo di giocare sul fatto che l'origine è l'unico punto che è intersezione di tre rette, e vedere se un omeomorfismo trasformava rette in rette, però non riesco (probabilmente è falsissimo), e non penso porti da nessuna parte in realtà . Qualcuno ha qualche idea su come procedere?

[otta96]

"Reyzet":pensavo di giocare sul fatto che l'origine è l'unico punto che è intersezione di tre rette,

Questa è una buona idea. Nota che questo fa sì che è l'unico punto dello spazio che ha un sistema fondamentale di intorni connessi tali che se gli togli il punto ti rimangono esattamente 6 componenti connesse. Note inoltre che queste proprietà deve essere conservata dagli omeomorfismi (cioè ogni omeomorfismo manda un tale punto in un altro tale punto). A questo punto concludi.

[Reyzet]

Ahh perfetto, non ci avevo minimamente pensato a una proprietà del genere sul sistema fondamentale, soprattutto non pensavo che questa proprietà si conservasse, anche se è evidente in effetti. Grazie mille!