Punto equidistante da due rette
Salve! Vorrei chiedervi se il modo in cui ho risolto questo esercizio è corretto.
Mi sembra che sia troppo facile, devo avere sbagliato qualcosa...
TESTO
Si considerino le seguenti rette nello spazio $RR^3$:
$r: y=2z-1=0$
$s: x=2z+1=0$.
Si scriva il luogo dei punti $P(a,b,c)$ equidistanti dalle due rette.
RISOLUZIONE
Dunque, innanzitutto mi sono scritto la forma generica dei punti delle due rette:
$P_r = (x,y,y/2 + 1/2)$
$P_s=(x,y, x/2-1/2)$.
Ora, io voglio che i punti siano equidistanti; quindi impongo che il quadrato della norma della distanza tra $P$ e $P_r$ sia uguale a quello della norma della distanza tra $P$ e $P_s$, da cui:
$(x-a)^2 + (y-b)^2 + (y/2+1/2 - c)^2 = (x-a)^2 + (y-b)^2 + (x/2 - 1/2 - c)^2$ da cui
$(y/2+1/2 - c)^2 = (x/2 - 1/2 - c)^2$
levando i quadrati:
$-x/2 + y/2 + 1 = 0$.
Vi pare corretto o ho fatto qualche orrido erroraccio di cui mi vergognerò a vita? Mi pare troppo facile così...
Grazie in advance
Pepi
Mi sembra che sia troppo facile, devo avere sbagliato qualcosa...
TESTO
Si considerino le seguenti rette nello spazio $RR^3$:
$r: y=2z-1=0$
$s: x=2z+1=0$.
Si scriva il luogo dei punti $P(a,b,c)$ equidistanti dalle due rette.
RISOLUZIONE
Dunque, innanzitutto mi sono scritto la forma generica dei punti delle due rette:
$P_r = (x,y,y/2 + 1/2)$
$P_s=(x,y, x/2-1/2)$.
Ora, io voglio che i punti siano equidistanti; quindi impongo che il quadrato della norma della distanza tra $P$ e $P_r$ sia uguale a quello della norma della distanza tra $P$ e $P_s$, da cui:
$(x-a)^2 + (y-b)^2 + (y/2+1/2 - c)^2 = (x-a)^2 + (y-b)^2 + (x/2 - 1/2 - c)^2$ da cui
$(y/2+1/2 - c)^2 = (x/2 - 1/2 - c)^2$
levando i quadrati:
$-x/2 + y/2 + 1 = 0$.
Vi pare corretto o ho fatto qualche orrido erroraccio di cui mi vergognerò a vita? Mi pare troppo facile così...
Grazie in advance
Pepi
Risposte
a parte il fatto che $P_r=(x,0,1/2)$ e $P_s=(0,y,-1/2)$ ,bisogna calcolare la distanza di $P(a,b,c)$ dalle rette e non dai punti generici delle rette
come si calcola la distanza di un punto P da una retta r?
un modo può essere questo :si determina il piano per P ortogonale ad r; detto P' l'intersezione di r con questo piano,la distanza cercata è quella tra P e P'
come si calcola la distanza di un punto P da una retta r?
un modo può essere questo :si determina il piano per P ortogonale ad r; detto P' l'intersezione di r con questo piano,la distanza cercata è quella tra P e P'
Ah ecco, mi pareva troppo bello... 
Quindi, mi serve il vettore direzione della prima retta, ma scritta in quella forma mi crea qualche problema (le ho sempre viste come intersezione di due piani).
$y=2z-1=0$ è la stessa cosa di $y-2z+1=0$? E quindi il vettore direttore è $(0,1,-2)$?
Non so, questa scrittura a due uguaglianze mi confonde le idee...
Mi sa che sto sbagliando di grosso, vero?
Pepi
EDIT: No, OK, ho scritto una cavolata mostruosa. (Non sapevo se editare questo messaggio o rispondere sotto: edito, ma lascio l'erroraccio).
Per ottenere l'equazione cartesiana della retta devo mettere a sistema i pezzi dell'uguaglianza, del tipo:
$\{(y=0),(2z-1=0):}$
Il punto è...la $x$ da dove cavolo la tiro fuori????
Quindi, mi serve il vettore direzione della prima retta, ma scritta in quella forma mi crea qualche problema (le ho sempre viste come intersezione di due piani).
$y=2z-1=0$ è la stessa cosa di $y-2z+1=0$? E quindi il vettore direttore è $(0,1,-2)$?
Non so, questa scrittura a due uguaglianze mi confonde le idee...
Mi sa che sto sbagliando di grosso, vero?
Pepi
EDIT: No, OK, ho scritto una cavolata mostruosa. (Non sapevo se editare questo messaggio o rispondere sotto: edito, ma lascio l'erroraccio).
Per ottenere l'equazione cartesiana della retta devo mettere a sistema i pezzi dell'uguaglianza, del tipo:
$\{(y=0),(2z-1=0):}$
Il punto è...la $x$ da dove cavolo la tiro fuori????
i punti di $r$ sono del tipo $P_r(x,0,1/2)$
quindi ,ad esempio, $(0,0,1/2)$ e $(1,0,1/2)$ appartengono ad $r$
un vettore direttore di $r$ è $(1,0,0)$
quindi ,un piano ortogonale ad $r$ è del tipo $1cdotx+0cdoty+0cdotz+d=0$,cioè $x+d=0$
imponendo il passaggio per $ P(a,b,c)$ si ha $a+d=0$ cioè $d=-a$
il piano cercato ha equazione $x-a=0$
$P'(a,0,1/2)$
ragiona in maniera analoga per l'altra retta
quindi ,ad esempio, $(0,0,1/2)$ e $(1,0,1/2)$ appartengono ad $r$
un vettore direttore di $r$ è $(1,0,0)$
quindi ,un piano ortogonale ad $r$ è del tipo $1cdotx+0cdoty+0cdotz+d=0$,cioè $x+d=0$
imponendo il passaggio per $ P(a,b,c)$ si ha $a+d=0$ cioè $d=-a$
il piano cercato ha equazione $x-a=0$
$P'(a,0,1/2)$
ragiona in maniera analoga per l'altra retta
Aaaaaaah ho capito! Sei un genio, Porzio!
Quindi, per l'altra retta: è parallela all'asse y, vettore direzione $(0,1,0)$, generico punto $P_s = (0,y,-1/2)$.
Il piano $\pi''$ ortogonale a $s$ è dato da $\pi'': y+f=0$. Imponendo il passaggio per $P(a,b,c)$ ottengo $f=-b$, quindi il punto $P''$ ha coordinate $(0,b,-1/2)$.
Ora calcolo le distanze e le uguaglio:
$d(P,P')=d(P,P'')$ cioè, al quadrato:
$b^2 + (c-1/2)^2 = a^2 + (c+1/2)^2$ da cui $2c=b^2-a^2$?
Grazie, per tutto l'aiuto e la pazienza. Son una testa dura, lo so...
Quindi, per l'altra retta: è parallela all'asse y, vettore direzione $(0,1,0)$, generico punto $P_s = (0,y,-1/2)$.
Il piano $\pi''$ ortogonale a $s$ è dato da $\pi'': y+f=0$. Imponendo il passaggio per $P(a,b,c)$ ottengo $f=-b$, quindi il punto $P''$ ha coordinate $(0,b,-1/2)$.
Ora calcolo le distanze e le uguaglio:
$d(P,P')=d(P,P'')$ cioè, al quadrato:
$b^2 + (c-1/2)^2 = a^2 + (c+1/2)^2$ da cui $2c=b^2-a^2$?
Grazie, per tutto l'aiuto e la pazienza. Son una testa dura, lo so...
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