Punto di vista attivo e passivo; matrice di cambiamento di base

[marco2132k]

Ciao. C'è un passaggio che non riesco a comprendere. Date due basi \( \{e_i\}_{i = 1,\dots,n} \) e \( \{e_k^\prime\}_{k = 1,\dots,n} \) di un \( K \)-spazio \( L \), possiamo esprimere i vettori \( e_k^\prime \) come combinazione lineare \( e_k^\prime = \sum_i a_{ik}e_i \) dei vettori delle prima base; in modo che, detti rispettivamente \( x \) e \( x^\prime \) i vettori delle coordinate di un \( l\in L \) rispetto a \( \{e_i\} \) e a \( \{e_k^\prime\} \), risulti \( x = (a_{ik})x^\prime \).

Il mio testo dice: "The matrix \( A = (a_{ik}) \) is called the matrix of change of basis (from the unprimed to the primed basis), or from the primed to the primed coordinates. [...] We note that the formula \( x = Ax^\prime \) could also have been interpreted as a formula expressing the coordinates of the new vector \( f(x^\prime) \) in terms of the coordinates of the vector \( x \), where \( f \) is the linear mapping \( L\to L \), described by the matrix \( A \) in the basis \( \{e_k\} \). In physics, these two points of view are called "passive" and "active" respectively. In the first case, we describe the same state of the system (the vector \( l \)) from the point of view of different observers [...] In the second case, there is only one observer, while the state of the system is subjected to transformations consisting, for example, of symmetry transformations of the space of states of this system.".

Qualcuno riuscirebbe a farmi l'esegesi della parte in rosso? E a collegare tutto ciò con la parte in blu?

Sì, ovviamente mi è chiaro che la mappa \( K^n\to K^n \) come \( x\mapsto Ax \) passa le coordinate di un vettore \(
l \) rispetto ad un osservatore segnato in quelle di un osservatore non-segnato. E che - nel secondo caso - posso mandare ogni vettore \( e_i \) nel rispettivo \( e_i^\prime \) con una trasformazione lineare \( f\colon L\to L \) che avrà matrice associata uguale ad \( A \) nella base non-segnata \( e_i \). Ma il senso di fare quest'ultima operazione? (Sì, ogni vettore \( f(l) \) avrà per coordinate rispetto agli \( e_i \) esattamente le coordinate di \( l \) rispetto a \( \{e_k^\prime\} \), ma...)

edit. Sì, mancava qualche apice.

[kaspar1]

(Sicuro di non aver scordato qualche apice?)
Prova a chiedere nella sezione di fisica, algebra lineare fa parte del curriculum universitario dei fisici pure e sapranno i suoi usi nella fisica.

[marco2132k]

(Sicuro di non aver scordato qualche apice?)

Ho corretto. Che quella \( f \) si possa valutare in \( x^\prime \) non è un errore mio. (È davvero un errore?)

[dissonance]

[ot]Secondo me non ti dovresti fissare così, anche se te lo dice uno che su questa cosa ci ha passato giornate intere. Più che teoria, qui ci vuole pratica. Dal punto di vista teorico è impossibile non confondersi tra punti di vista attivi e passivi, indici, pedici, tilde e ammennicoli vari. Ma esercitandosi, per qualche motivo si sviluppa un fiuto che porta poi a fare tutto correttamente.[/ot]

[marco2132k]

@dissonance Il problema è che io non capisco proprio il significato della cosa in rosso. Che vuol dire interpretare la formula \( x = Ax^\prime \) come se esprimesse le coordinate di un nuovo vettore \( f(x^\prime) \) mediante un'applicazione lineare \( L\to L \) (wft??) descritta dalla matrice \( A \) nella base degli \( e_i \)?

Che ha a che fare questo con la matrice di cambio di base?

[gugo82]

Insomma, a quanto mi pare di capire, sembra si voglia dire che puoi coordinare lo spazio di arrivo o con la nuova base (ed in tal caso, la formula fornisce un cambiamento di coordinate) oppure con la stessa base dello spazio di partenza (ed in tal caso puoi riguardare la formula come una semplice applicazione lineare di quello spazio coordinato in sé).

[marco2132k]

Comunque credo che la cosa non si possa liquidare in altro modo che così. Il gruppo lineare generale è i(somorfo a)l gruppo degli automorfismi di uno spazio di dimensione sensata. Inoltre, \( \mathrm{GL}(n,K)\) è esattamente il gruppo delle matrici di cambio di base di un \( K \)-spazio di dimensione \( n \). In altre parole, un automorfismo è un cambiamento di base. Poi è un po' casino vedere "come" in astratto. Se trovo qualche esercizio che mette in luce la cosa lo posto, magari è utile alla gente.

[marco2132k]

@Sergio

Ho visto che avevi scritto qualcosa (e speravo di leggerlo!). Nel caso avessi eliminato il post per fare modifiche, ti voglio segnalare che la matrice di cambio di base così definita è esattamente la matrice di cambio di base from the unprimed to the primed basis: questo perché nel testo da dove ho preso quella roba è introdotta (ma mi sembra che non la usi mai dopo ciò, o almeno spero) una moltiplicazione
\[
(e_1,\dots,e_n)
\begin{pmatrix}
a_{11} & \dots & a_{1n}\\
\dots & \dots & \dots\\
a_{n1} & \dots & a_{nn}
\end{pmatrix}
= (e_1^\prime,\dots,e_n^\prime)
\]
Allora moltiplicare le coordinate di un vettore nella base primed per \( A \) dà le coordinate dello stesso ragazzo nella base unprimed.

[marco2132k]

Qualsiasi matrice di cambiamento di base può essere vista in modo "attivo" come la matrice di una ristretta classe di trasformazioni, quali riflessioni e rotazioni?

Questo non lo sapevo. Grazie!

Se \( P \) è una matrice di \( \mathrm{GL}(n,K) \) per un campo \( K \), essa è esattamente la matrice \( \alpha_{\mathcal P\mathcal E_n}(1) \) associata all'identica \( 1\colon K^n\to K^n \), nelle basi \( \mathcal P \) del suo spazio delle colonne in partenza e \( \mathcal E_n \) canonica in arrivo, come dici. Già che ci sono, volevo chiedere: dato un \( K \)-spazio di dimensione \( n \), la \( P \) può ancora essere vista come la matrice dell'identica \( 1\colon V\to V \), in opportune basi? (È abbastanza inutile, ma esteticamente ha un suo perché, dai )