Punti uniti, proiettività e trasformazioni inverse
Buona sera!
Ho un fastidio con un esercizio sulla retta proiettiva. Avendo i punti:
\(A=(1:0) B=(1:1) C=(1:2)\)
\(A'=1:0) B=(1:-2) C=(0:1)\)
devo trovare l'espressione della proiettività in forma analitica che trasforma A,B,C in A', B', C'.
Prima di tutto ho notato che A=A' quindi l'ho escluso dal sistema.
risolvendo il sistema viene una matrice
$((2,1),(-5,2))$
che trasforma i punti A,B,C in A',B',C'.
La forma analitica è la frazione dove ho \(x_1=(-5+3x)/(2-1x)\)?
Per trovare i punti uniti (immagino che stiano lungo una retta, right?)
Intanto ho il punto A
\(x=2x+1y\)
\(y=-5x+2y\)
e ottengo: x=y=0, perchè le coordinate omogenee non possono essere contemporaneamente nulle!
ma credo di sbagliare completamente procedimento...
Se mi chiedono di dimostrare se la proiettività w coincide con la trasformazione inversa w^-1, e mi chiedono cosa ne deduco su w^2 cosa posso dire??
Io pensavo di dimostrare che la matrice della prima proiettività * matrice della seconda proiettività = alla matrice identità.
Questo perchè la proiettività x'=Ax per tornare x'=x deve essere moltiplicato solo per la matrice identità.
ma così non è...
w^-1 mi da come matrice
$((3,1),(5,2))$
e il loro prodotto è:
$((1,6),(0,11))$
Quindi non ci siamo!
Grazie
Ho un fastidio con un esercizio sulla retta proiettiva. Avendo i punti:
\(A=(1:0) B=(1:1) C=(1:2)\)
\(A'=1:0) B=(1:-2) C=(0:1)\)
devo trovare l'espressione della proiettività in forma analitica che trasforma A,B,C in A', B', C'.
Prima di tutto ho notato che A=A' quindi l'ho escluso dal sistema.
risolvendo il sistema viene una matrice
$((2,1),(-5,2))$
che trasforma i punti A,B,C in A',B',C'.
La forma analitica è la frazione dove ho \(x_1=(-5+3x)/(2-1x)\)?
Per trovare i punti uniti (immagino che stiano lungo una retta, right?)
Intanto ho il punto A
\(x=2x+1y\)
\(y=-5x+2y\)
e ottengo: x=y=0, perchè le coordinate omogenee non possono essere contemporaneamente nulle!
ma credo di sbagliare completamente procedimento...
Se mi chiedono di dimostrare se la proiettività w coincide con la trasformazione inversa w^-1, e mi chiedono cosa ne deduco su w^2 cosa posso dire??
Io pensavo di dimostrare che la matrice della prima proiettività * matrice della seconda proiettività = alla matrice identità.
Questo perchè la proiettività x'=Ax per tornare x'=x deve essere moltiplicato solo per la matrice identità.
ma così non è...
w^-1 mi da come matrice
$((3,1),(5,2))$
e il loro prodotto è:
$((1,6),(0,11))$
Quindi non ci siamo!
Grazie
Risposte
Per avere maggiori probabilità di ricevere aiuto ti consiglio di modificare il tuo post usando le formule come indicato qui. Grazie.
Ok, quel link ora è tra i miei preferiti
Per determinare senza ambguita' la proiettivita' che ti serve hai bisogno di tutti e tre i punti, credo. Una base di $K^2$ deve andare in una base di $K^2$ (e questo ti da' la matrice della applicazione lineare sottostante alla proiettivita' cercata), e un terzo punto deve fare da punto unita' del riferimento proiettivo.
Poniamo che tu abbia fatto i conti giusti, allora per trovare la "forma analitica" della proiettivita' devi sfruttare il fatto che $PGL(2,K)=\{[(a,b),(c,d)] : ad-bc\ne 0\}$ e' isomorfo al gruppo delle trasformazioni razionali del tipo $t\mapsto \frac{at+b}{ct+d}$.
I punti uniti si ottengono diagonalizzando una matrice, penso tu lo sappia fare, specie perche' essa e' 2x2.
Poniamo che tu abbia fatto i conti giusti, allora per trovare la "forma analitica" della proiettivita' devi sfruttare il fatto che $PGL(2,K)=\{[(a,b),(c,d)] : ad-bc\ne 0\}$ e' isomorfo al gruppo delle trasformazioni razionali del tipo $t\mapsto \frac{at+b}{ct+d}$.
I punti uniti si ottengono diagonalizzando una matrice, penso tu lo sappia fare, specie perche' essa e' 2x2.
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