Punti singolari di una curva irriducibile
Salve, mi trovavo alle prese con questo esercizio di geometria 3 e avevo qualche dubbio.
Si consideri la curva piana proiettiva di equazione:
$x_0x_2^2-x_1^2x_2+x_0x_1x_2+2x_0^2x_2-x_1^3+2x_0^2x_1=0$
Trovare punti singolari e le loro tangenti principali.
Bene, io ho trovato che la curva è riducibile e si scompone così: $(x_1+x_2)(2x_0^2+x_2x_0-x_1^2)=0$ ovvero la somma di una retta e di una conica. Evidentemente se un punto appartiene all'intersezione delle due curve allora è singolare. Così ho facilmente trovato $P=(1:1:-1), Q(1:-2:2)$. Posso dire che sono solo questi o potrebbero essercene altri? Se si, posso trovarli solo con il metodo delle derivate?
Come trovare le tangenti principali? Ho il sospetto che una di queste dovrebbe essere sempre la retta, è così? Se si, perché?
Ho provato a trovarle col metodo che ci ha dato il professore, ovvero di deomogenizzare ponendo $x_0=1$ e di studiarla in coordinate affine (facendo un altra sostituzione per portarmi il punto nell'origine) ma purtroppo non riuscivo a uscirne. C'è una maniera più semplice, sfruttando la riducibilità?
Per quanto riguarda i punti all'infinito, sono $S=(0:1:-1)$ e $T=(0:0:1)$.
Su questo ho meno dubbi, però non si sa mai. Inizio a studiare il secondo punto. Passo alla carta affine $A_2^2$ tramite le sostituzioni $u=x_0/x_2, v=x_1/x_2$. Da qui il punto va nell'origine e trovo che il polinomio di grado minimo è $2u^2+uv-v^2=(u+v)(u-v/2)$ e quindi le due tangenti principali sono $u+v=0 -> x_0+x_1=0$, asintoto della curva affine $x=-1$ e $u-v/2=0 -> 2x0-x1=0$ asintoto di $x=2$.
Per il secondo punto come prima passo alla affine $A_1^2$ che mi manda il polinomio in $(v+1)(2u^2+uv-1)$. Effettuo un'altra sostituzione $u=u,w=v-1$ per mandare $(0,1)->(0,0)$. Quindi da $w(2u^2+uw+u-1)$ ottengo che l'unica tangente è $w=0->v-1=0->x_2-x_1=0->y-x=0$
Si consideri la curva piana proiettiva di equazione:
$x_0x_2^2-x_1^2x_2+x_0x_1x_2+2x_0^2x_2-x_1^3+2x_0^2x_1=0$
Trovare punti singolari e le loro tangenti principali.
Bene, io ho trovato che la curva è riducibile e si scompone così: $(x_1+x_2)(2x_0^2+x_2x_0-x_1^2)=0$ ovvero la somma di una retta e di una conica. Evidentemente se un punto appartiene all'intersezione delle due curve allora è singolare. Così ho facilmente trovato $P=(1:1:-1), Q(1:-2:2)$. Posso dire che sono solo questi o potrebbero essercene altri? Se si, posso trovarli solo con il metodo delle derivate?
Come trovare le tangenti principali? Ho il sospetto che una di queste dovrebbe essere sempre la retta, è così? Se si, perché?
Ho provato a trovarle col metodo che ci ha dato il professore, ovvero di deomogenizzare ponendo $x_0=1$ e di studiarla in coordinate affine (facendo un altra sostituzione per portarmi il punto nell'origine) ma purtroppo non riuscivo a uscirne. C'è una maniera più semplice, sfruttando la riducibilità?
Per quanto riguarda i punti all'infinito, sono $S=(0:1:-1)$ e $T=(0:0:1)$.
Su questo ho meno dubbi, però non si sa mai. Inizio a studiare il secondo punto. Passo alla carta affine $A_2^2$ tramite le sostituzioni $u=x_0/x_2, v=x_1/x_2$. Da qui il punto va nell'origine e trovo che il polinomio di grado minimo è $2u^2+uv-v^2=(u+v)(u-v/2)$ e quindi le due tangenti principali sono $u+v=0 -> x_0+x_1=0$, asintoto della curva affine $x=-1$ e $u-v/2=0 -> 2x0-x1=0$ asintoto di $x=2$.
Per il secondo punto come prima passo alla affine $A_1^2$ che mi manda il polinomio in $(v+1)(2u^2+uv-1)$. Effettuo un'altra sostituzione $u=u,w=v-1$ per mandare $(0,1)->(0,0)$. Quindi da $w(2u^2+uw+u-1)$ ottengo che l'unica tangente è $w=0->v-1=0->x_2-x_1=0->y-x=0$
Risposte
CIa0;
la retta e la conica in sé hanno punti singolari?, e di conseguenza cosa puoi affermare?
la retta e la conica in sé hanno punti singolari?, e di conseguenza cosa puoi affermare?
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