Punti regolari e piano tangente superficie

[leriaaaaa_97]

Buongiorno ho dei dubbi riguardo il seguente esercizio... nel primo punto da quello che ho fatto ho punti regolari per ogni (u,v) con v diverso da zero. Poi pero non so come calcolare il piano tangente in un punto GENERICO e non stabilito e di seguito quindi anche gli altri punti mi mandano in crisi

L'esercizio è il seguente:
Sia S la superficie parametrizzata da ϕ(u, v) = (uv, vu^2 − v + 1, 1 − v), con (u, v) ∈ R^2.

(1) determinare i punti regolari di S;
(2) determinare il piano tangente alla superficie in ogni suo punto regolare P;
(3) si verifichi che tutti i piani tangenti hanno un punto Q in comune e se ne determinino le coordinate;
(4) si verifichi che tutti i punti della retta passante per Q e per un generico punto regolare P della superficie
sono contenuti nel supporto di S;
(5) alla luce dei punti precedenti, dare una rappresentazione della superficie S.



Grazie!

[anonymous_0b37e9]

Parametrizzazione

$\phi : RR^2 rarr RR^3$

$\phi(u, v)=(uv,u^2v-v+1,1-v)$

Jacobiano

$J[\phi(u,v)]=[((del\phi_1)/(delu),(del\phi_1)/(delv)),((del\phi_2)/(delu),(del\phi_2)/(delv)),((del\phi_3)/(delu),(del\phi_3)/(delv))]=[(v,u),(2uv,u^2-1),(0,-1)]$

Condizione punti regolari

$v^2(u^2+1)^2+v^2+4u^2v^2 ne 0 rarr$

$rarr v^2[(u^2+1)^2+1+4u^2] ne 0 rarr$

$rarr v ne 0$

Direzione perpendicolare al piano tangenete

$det[(veci,vecj,veck),(v,2uv,0),(u,u^2-1,-1)]=-2uv veci+v vecj-v(u^2+1) veck$

Piano tangente

$-2uv(x-uv)+v(y-u^2v+v-1)-v(u^2+1)(z-1+v)=0 rarr$

$rarr 2uvx-vy+v(u^2+1)z-u^2v=0 rarr$

$rarr 2ux-y+(u^2+1)z-u^2=0$

Punto in comune

$AA u in RR : (z-1)u^2+2xu-y+z=0 rarr$

$rarr \{(z-1=0),(2x=0),(-y+z=0):} rarr$

$rarr \{(x=0),(y=1),(z=1):}$

Rette

$(x-0)/(uv-0)=(y-1)/(u^2v-v+1-1)=(z-1)/(1-v-1) rarr$

$rarr x/(uv)=(y-1)/(u^2v-v)=(z-1)/(-v) rarr$

$rarr x/u=(y-1)/(u^2-1)=(z-1)/(-1) rarr$

$rarr \{((u^2-1)x-uy+u=0),(x+uz-u=0):}$

Appartenenza alla superficie

$\{((u^2-1)x-uy+u=0),(x+uz-u=0):} ^^ \{(x=uv),(y=u^2v-v+1),(z=1-v):} rarr$

$rarr \{((u^2-1)uv-u(u^2v-v+1)+u=0),(uv+u(1-v)-u=0):} rarr$

$rarr \{(u^3v-uv-u^3v+uv-u+u=0),(uv+u-uv-u=0):} rarr$

$rarr \{(0=0),(0=0):}$

[leriaaaaa_97]

Grazie mille