Punti linearmente indipendenti
dati i punti B1 (1,1,0) , B2 (2,0,3) , B3 (2,1,1) e V (3,-1,5) € P2 come faccio a vedere che i loro rappresentanti sono linearmente indipendenti ?
so che non devono essere combinazione lineare gli uni degli altri, ma com'è il procedimento da seguire ?
so che non devono essere combinazione lineare gli uni degli altri, ma com'è il procedimento da seguire ?
Risposte
"certosina":
dati i punti B1 (1,1,0) , B2 (2,0,3) , B3 (2,1,1) e V (3,-1,5) € P2 come faccio a vedere che i loro rappresentanti sono linearmente indipendenti ?
Rappresentanti? Cioe'?
"certosina":
so che non devono essere combinazione lineare gli uni degli altri, ma com'è il procedimento da seguire ?
...be', qualunque cosa siano i rappresentanti, se sai che non devono essere combinazione lineare gli uni degli altri poni per assurdo che lo siano e prova a far esplodere tutto!
"certosina":
dati i punti B1 (1,1,0) , B2 (2,0,3) , B3 (2,1,1) e V (3,-1,5) € P2 come faccio a vedere che i loro rappresentanti sono linearmente indipendenti ?
so che non devono essere combinazione lineare gli uni degli altri, ma com'è il procedimento da seguire ?
Scusa, ma devi verificare che sono linearmente indipendenti 4 vettori di $ R^3 $ ?? E' impossibile che siano linearmente indipendenti, la dimensione di $ R^3 $ è 3, e la dimensione di uno spazio vettoriale è il numero massimo di vettori linearmente indipendenti in quello spazio. Forse non è chiaro il testo dell'esercizio. Quel P2 cos'è?
Comunque per verificare se un insieme di vettori è lineramente indipendente li devi schiaffare tutti insieme a formare una matrice (per righe o per colonne non importa) e poi devi calcolare il rango di questa matrice. Il rango di una matrice indica il numero di colonne (o di righe, si dimostra che il rango per righe è uguale al rango per colonne) linearmente indipendenti della matrice stessa.
in riferimento a quanto ha detto grabriella127
ti metto qua l'esempio che ho preso ad esercitazione
siano i vettori $ul(v_1)=((1),(0),(2)), ul(v_2)=((3),(-1),(1)),ul(v_3)=((0),(1),(-2))\in RR^3$
sono linearmente indipendenti perchè $ det( ( 1 , 3 , 0 ),( 0 , -1 , 1 ),( 2 , 1 , -2 ) )=2+6-1=7 \ne0 $
ti metto qua l'esempio che ho preso ad esercitazione
siano i vettori $ul(v_1)=((1),(0),(2)), ul(v_2)=((3),(-1),(1)),ul(v_3)=((0),(1),(-2))\in RR^3$
sono linearmente indipendenti perchè $ det( ( 1 , 3 , 0 ),( 0 , -1 , 1 ),( 2 , 1 , -2 ) )=2+6-1=7 \ne0 $
in riferimento a quanto ha detto grabriella127
ti metto qua l'esempio che ho preso ad esercitazione
siano i vettori $ul(v_1)=((1),(0),(2)), ul(v_2)=((3),(-1),(1)),ul(v_3)=((0),(1),(-2))\in RR^3$
sono linearmente indipendenti perchè $ det( ( 1 , 3 , 0 ),( 0 , -1 , 1 ),( 2 , 1 , -2 ) )=2+6-1=7 \ne0 $
ti metto qua l'esempio che ho preso ad esercitazione
siano i vettori $ul(v_1)=((1),(0),(2)), ul(v_2)=((3),(-1),(1)),ul(v_3)=((0),(1),(-2))\in RR^3$
sono linearmente indipendenti perchè $ det( ( 1 , 3 , 0 ),( 0 , -1 , 1 ),( 2 , 1 , -2 ) )=2+6-1=7 \ne0 $
con P2 intendo che lo spazio è proiettivo, non mi ero spiegata bene =)
Be', allora non avevo capito, è geometria proiettiva, pensavo fosse algebra lineare base, in questo caso non so aiutarti, non so il ruolo del punto V in P2.
Vuoi capire se i punti dati formino un riferimento proiettivo? Se sì, vale la seguente
Proposizione. Sia \(\mathbb{S}\) uno spazio proiettivo di dimensione \(n\) e spazio vettoriale sovrastante \(V\).
I seguenti dati sono equivalenti tra loro:
(a) una base ordinata di \(V\) a meno di proporzionalità;
(b) \(n+2\) punti \(P_0, \dots, P_n, U\) di \(\mathbb{P}\) tali che \(n+1\) tra loro non stiano su un iperpiano (i \(P_0, \dots, P_n\) formano l'edro fondamentale e \(U\) è il punto unità).
Di fatto la (b) è la definizione di riferimento proiettivo, e dovrebbe bastarti.
Proposizione. Sia \(\mathbb{S}\) uno spazio proiettivo di dimensione \(n\) e spazio vettoriale sovrastante \(V\).
I seguenti dati sono equivalenti tra loro:
(a) una base ordinata di \(V\) a meno di proporzionalità;
(b) \(n+2\) punti \(P_0, \dots, P_n, U\) di \(\mathbb{P}\) tali che \(n+1\) tra loro non stiano su un iperpiano (i \(P_0, \dots, P_n\) formano l'edro fondamentale e \(U\) è il punto unità).
Di fatto la (b) è la definizione di riferimento proiettivo, e dovrebbe bastarti.
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