Punti interni con topologia delle semirette
Ciao a tutti. Studiando topologia ho incontrato questo esempio: l'intervallo $Y=[0,1)$ in $(RR, tau_s)$ dove $tau_s$ è la topologia delle semirette non ha punti interni.
Si può generalizzare dicendo che lo spazio topologico $(RR, tau_s)$ ha punti interni se e solo se è illimitato inferiormente?
Si può generalizzare dicendo che lo spazio topologico $(RR, tau_s)$ ha punti interni se e solo se è illimitato inferiormente?
Risposte
Sì. (ti serve anche una dimostrazione che $[0,1)$ non ha punti interni o ci sei arrivato da solo? E' facile, e fa riflettere sulla definizione di chiusura e di topologia indotta, perché vedi in piccolo lo stesso fenomeno con la topologia indotta $\tau_s'$ da $\tau_s$ su $[0,1)$: in quest'ultima, qualsiasi sottoinsieme $S\subset [0,1)$ che non contenga un intervallo della forma $[\lambda,1)$ ha interno vuoto.)
Prova a dimostrare (o confutare: ma penso sia vero) che in effetti $(\mathbb R, \tau_s)$ e $([0,1), \tau_s')$ sono omeomorfi.
Prova a dimostrare (o confutare: ma penso sia vero) che in effetti $(\mathbb R, \tau_s)$ e $([0,1), \tau_s')$ sono omeomorfi.
Non basta osservare che affinché un punto sia interno, deve essere contenuto in un sottoinsieme $W$ di $X=[0,1)$ tale che contenga un aperto della topologia $tau_s$ della forma $(-∞,a)$, e questo evidentemente non può mai accadere?
Invece, non capisco una cosa di quello che scrivi. Se si considera la topologia indotta da quella delle semirette su $S=[0,1)$, allora gli aperti sono della forma $(-∞,a) nn [0,1)$ e quindi tutti gli intervalli $[0,lambda)$ con $lambda in[0,1)$.
I punti interni di $(S, tau_s')$ sarebbero allora tutti quelli contenuti in un insieme che contiene un aperto $[0,lambda)$.
Dove mi sbaglio?
Per quanto riguarda la dimostrazione $(RR, tau_s) ~= ([0,1),tau_s')$: in sostanza, devo trovare un'applicazione bicontinua $f : RR rarr [0,1)$ tenendo in considerazione la differenza tra le due topologie. Quindi in particolare deve essere che per ogni aperto $A$ di $[0,1)$ $f^(-1)(A)$ sia un aperto di $RR$ con la topologia delle semirette. Dunque $f^(-1)([0,lambda))$ dovrebbe darmi una semiretta $(-∞,a)$. Giusto?
Invece, non capisco una cosa di quello che scrivi. Se si considera la topologia indotta da quella delle semirette su $S=[0,1)$, allora gli aperti sono della forma $(-∞,a) nn [0,1)$ e quindi tutti gli intervalli $[0,lambda)$ con $lambda in[0,1)$.
I punti interni di $(S, tau_s')$ sarebbero allora tutti quelli contenuti in un insieme che contiene un aperto $[0,lambda)$.
Dove mi sbaglio?
Per quanto riguarda la dimostrazione $(RR, tau_s) ~= ([0,1),tau_s')$: in sostanza, devo trovare un'applicazione bicontinua $f : RR rarr [0,1)$ tenendo in considerazione la differenza tra le due topologie. Quindi in particolare deve essere che per ogni aperto $A$ di $[0,1)$ $f^(-1)(A)$ sia un aperto di $RR$ con la topologia delle semirette. Dunque $f^(-1)([0,lambda))$ dovrebbe darmi una semiretta $(-∞,a)$. Giusto?
"Leo S.":
Invece, non capisco una cosa di quello che scrivi. Se si considera la topologia indotta da quella delle semirette su $S=[0,1)$, allora gli aperti sono della forma $(-∞,a) nn [0,1)$ e quindi tutti gli intervalli $[0,lambda)$ con $lambda in[0,1)$.
"Le semirette" in effetti è ambiguo: io consideravo le semirette chiuse $[a,\infty)$, tu prendi quelle aperte $(-\infty,a)$. Googlando, mi sembrava la mia la definizione comune. Ovviamente è questione di nomenclatura, anzi, cogli l'occasione per fare un altro esercizio:
1. $\mathbb R$ con la topologia delle semirette destre aperte è omeomorfo a $\mathbb R$ con la topologia delle semirette sinistre aperte?
2. $\mathbb R$ con la topologia delle semirette destre chiuse è omeomorfo a $\mathbb R$ con la topologia delle semirette sinistre chiuse?
3. $\mathbb R$ con la topologia delle semirette destre chiuse è omeomorfo a $[0,1)$ con la topologia indotta?
4. $\mathbb R$ con la topologia delle semirette sinistre chiuse è omeomorfo a $[0,1)$ con la topologia indotta?
5. $\mathbb R$ con la topologia delle semirette destre aperte è omeomorfo a $[0,1)$ con la topologia indotta?
etc.
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