Punti impropri e tangenti principali
Ciao a tutti, avrei bisogno di aiuto per risolvere il seguente esercizio:
Data la curva algebrica affine complessa di equazione
$ C: x^4-x^2y^2-4x^2y+y^3=0 $ trovare i punti impropri di $ C $ e le loro tangenti principali...
Per trovare i punti impropri scrivo la curva in coordinate omogenee e ottengo
$ x_1^4-x_1^2x_2^2-4x_1^2x_2x_3+x_2^3x_3=0 $
e pongo $ x_3=0 $ e mi rimane: $ x_1^4-x_1^2x_2^2 =0 $
è giusto che i punti impropri sono $ P_1=[1:-1:0] , P_2=[-1:1:0] $ ?
e per le tangenti principali come devo fare?Grazie mille a tutti in anticipo!!
Data la curva algebrica affine complessa di equazione
$ C: x^4-x^2y^2-4x^2y+y^3=0 $ trovare i punti impropri di $ C $ e le loro tangenti principali...
Per trovare i punti impropri scrivo la curva in coordinate omogenee e ottengo
$ x_1^4-x_1^2x_2^2-4x_1^2x_2x_3+x_2^3x_3=0 $
e pongo $ x_3=0 $ e mi rimane: $ x_1^4-x_1^2x_2^2 =0 $
è giusto che i punti impropri sono $ P_1=[1:-1:0] , P_2=[-1:1:0] $ ?
e per le tangenti principali come devo fare?Grazie mille a tutti in anticipo!!
Risposte
È da un po’ che non faccio queste cose ma i due punti che hai scritto coincidono (basta moltiplicare le coordinate dell'uno per \(-1\) per ottenere l'altro) e ti sei perso delle soluzioni di quella equazione. Risolvendo l'equazione che hai scritto ottengo infatti
\[ 0 = x_1^4 - x_1^2x_2^2 = x_1^2(x_1^2 - x_2^2), \]
da cui ottengo \( P_1 = [0:1:0] \) partendo da \( x_1^2 = 0 \) e i punti \( P_2 = [1:-1:0] = [-1:1:0] \) e \( P_3 = [1:1:0] \) partendo da \( 0 = (x_1^2 - x_2^2) = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2) \). Per calcolare le tangenti principali, che cosa ti dice la teoria? Come faresti se il punto non fosse improprio, ma per esempio l'origine?
\[ 0 = x_1^4 - x_1^2x_2^2 = x_1^2(x_1^2 - x_2^2), \]
da cui ottengo \( P_1 = [0:1:0] \) partendo da \( x_1^2 = 0 \) e i punti \( P_2 = [1:-1:0] = [-1:1:0] \) e \( P_3 = [1:1:0] \) partendo da \( 0 = (x_1^2 - x_2^2) = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2) \). Per calcolare le tangenti principali, che cosa ti dice la teoria? Come faresti se il punto non fosse improprio, ma per esempio l'origine?
Se il punto fosse l'origine se non sbaglio dovrei porre uguale a zero i termini di grado più basso...ma in questo caso?
Immagino che sarebbe necessaria una dimostrazione più rigorosa, ma quello che si fa nel caso generale è portarsi al caso particolare di una curva affine con il punto da analizzare nell'origine degli assi. Ti mostro per esempio il caso \(P_3 = [1:1:0] \). Per prima cosa ci portiamo in una carta affine deomogeneizzando per esempio rispetto a \(x_1\) (cioè scrivo \( x_1 \mapsto x_1/x_1 = 1, x_2 \mapsto x_2/x_1 = y, x_3 \mapsto x_3/x_1 = z \) ). Otteniamo quindi la curva
\[ 1 - y^2 - 4yz + y^2z = 0 \]
e \( P_3 \) viene mandato nel punto \( (1, 0) \). Sostituiamo infine \( x = y - 1 \) per portare il punto nell'origine ottenendo la curva
\[ 1 - (x + 1)^2 - 4(x + 1)z + (x + 1)^2z = - x^2 - 2x - 3z + x^2z - 2xz = 0. \]
La retta tangente è allora \( 2x + 3z = 0 \). Che facendo la trasformazione inversa diventa \(2x_2 - 2x_1 + 3x_3 = 0\) nel piano proiettivo. Ti lascio i restanti casi come esercizio.
\[ 1 - y^2 - 4yz + y^2z = 0 \]
e \( P_3 \) viene mandato nel punto \( (1, 0) \). Sostituiamo infine \( x = y - 1 \) per portare il punto nell'origine ottenendo la curva
\[ 1 - (x + 1)^2 - 4(x + 1)z + (x + 1)^2z = - x^2 - 2x - 3z + x^2z - 2xz = 0. \]
La retta tangente è allora \( 2x + 3z = 0 \). Che facendo la trasformazione inversa diventa \(2x_2 - 2x_1 + 3x_3 = 0\) nel piano proiettivo. Ti lascio i restanti casi come esercizio.
"apatriarca":
\( P_3 \) viene mandato nel punto \( (1, 0) \)
non capisco questo passaggio
È semplicemente l'immagine del punto \( P_3 \) attraverso la mappa precedente in cui è \( (y,z) = (1,0) \). Immagino di aver fatto una scelta infelice per i nomi delle coordinate. Poi ho fatto una traslazione in modo che quel punto finisse nell'origine.
Ah ok 
ora ho capito!grazie mille dell'aiuto!!
ora ho capito!grazie mille dell'aiuto!!
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