Punti impropri di una iperbole
salve,come avrete capito il mio problema è come trovare i punti impropri di una conica..vi riporto due esempi perchè il primo l'ho saputo svolgere il secondo,applicando lo stesso procedimento no!!
1 esempio; l'iperbole ha equazione: $x^2+2xy-y^2=0$ quindi facendo sistema con t=0 otterei i suoi punti impropri ovvero:
$\{(x^2+2xy-y^2=0),(t=0):}$
da cui per trovare le x considero l'equazione $x^2+2x-1=0$
per trovare le y conidero l equazione $-y^2+2y+1=0$
infine ottengo che i punti impropri della iperbole considerata sono $(-1+-sqrt(2),1,0)$.
adesso considero l' eqazione della iperbole di cui non sono riuscita a determinare i punti impropri:
2 esempio; l'iperbole ha equazione: $x^2-2xy-y^2-2x+4y=0$ quindi facendo sistema con t=0 otterei i suoi punti impropri ovvero:
$\{(x^2-2xy-y^2-2x+4y=0),(t=0):}$
da cui per trovare le x considero l'equazione $x^2-2x-2x-1+4=x^2-4x+3$cosi ottengo $x=3$ e $x=1$
per trovare le y conidero l equazione $y^2-2y+1=0$ cosi ottengo $y=1$
ma in effetti le x e le y che ho determinato sono sbagliate perchè il risutato dell'esercizio(che è già stato svolto dal prop) mi fornisce dei risultati differenti e precisamente dice che i punti impropri dell iperbole sono $(1,-1+-sqrt(2),0)$..qualcuno saprebbe dirmi dove sbaglio??Grazie!
1 esempio; l'iperbole ha equazione: $x^2+2xy-y^2=0$ quindi facendo sistema con t=0 otterei i suoi punti impropri ovvero:
$\{(x^2+2xy-y^2=0),(t=0):}$
da cui per trovare le x considero l'equazione $x^2+2x-1=0$
per trovare le y conidero l equazione $-y^2+2y+1=0$
infine ottengo che i punti impropri della iperbole considerata sono $(-1+-sqrt(2),1,0)$.
adesso considero l' eqazione della iperbole di cui non sono riuscita a determinare i punti impropri:
2 esempio; l'iperbole ha equazione: $x^2-2xy-y^2-2x+4y=0$ quindi facendo sistema con t=0 otterei i suoi punti impropri ovvero:
$\{(x^2-2xy-y^2-2x+4y=0),(t=0):}$
da cui per trovare le x considero l'equazione $x^2-2x-2x-1+4=x^2-4x+3$cosi ottengo $x=3$ e $x=1$
per trovare le y conidero l equazione $y^2-2y+1=0$ cosi ottengo $y=1$
ma in effetti le x e le y che ho determinato sono sbagliate perchè il risutato dell'esercizio(che è già stato svolto dal prop) mi fornisce dei risultati differenti e precisamente dice che i punti impropri dell iperbole sono $(1,-1+-sqrt(2),0)$..qualcuno saprebbe dirmi dove sbaglio??Grazie!
Risposte
prima di mettere a sistema con t=0 devi omogeneizzare l'equazione, nel primo caso ti torna perchè l'equazione è già omogenea, nel secondo invece no.
Scusate l'intromissione, ma come si omogenizza l'equazione?
devi completare ogni monomio in modo tale che tutti abbiano lo stesso grado: per questo aggiungi un'indeterminata e moltiplichi ogni monomio per questa nuova indeterminata ad una potenza opportuna.
esempio:
$x_1^2+x_2+1$ diventa $X_1^2+X_0*X_2+X_0^2$.
oppure (il polinomio di prima)$x^2-2xy-y^2-2x+4y$ diventa (aggiungiamo l'indeterminata $t$) $x^2-2xy-y^2-2x\mathbf{t}+4y\mathbf{t}$.
in simboli, l'applicazione che trasforma polinomi in $x_1,ldots, x_n$ in polinomi omogenei in $X_0,ldots, X_n$ è:
$f(x_1,ldots, x_n) |-> X_0^(text{deg}(f))*f(X_1/X_0,ldots, X_n/X_0)$
Questa è un'altra classica cosa più facile da fare che da dire!
esempio:
$x_1^2+x_2+1$ diventa $X_1^2+X_0*X_2+X_0^2$.
oppure (il polinomio di prima)$x^2-2xy-y^2-2x+4y$ diventa (aggiungiamo l'indeterminata $t$) $x^2-2xy-y^2-2x\mathbf{t}+4y\mathbf{t}$.
in simboli, l'applicazione che trasforma polinomi in $x_1,ldots, x_n$ in polinomi omogenei in $X_0,ldots, X_n$ è:
$f(x_1,ldots, x_n) |-> X_0^(text{deg}(f))*f(X_1/X_0,ldots, X_n/X_0)$
Questa è un'altra classica cosa più facile da fare che da dire!
Per le coniche, l'idea è di lasciare solo i termini di secondo grado.
Giusto?
Giusto?
Se intendi dire che, dopo aver omogeneizzato l'equazione di una conica, ottieni un polinomio con solo termini di secondo grado allora è giusto.
Forse però ti riferivi al calcolo dei punti impropri, in questo caso:
se $f(x_1,ldots,x_n)=0$ è un'equazione della curva, $F(X_0,ldots,X_n)=X_0^(text(deg)(f))*f(X_1/X_0,...,X_n/X_0)$ è l'omogeneizzata (abbiamo aggiunto l'indeterminata X_0) allora i punti impropri sono soluzioni del sistema
${(F(X_0,ldots,X_n)=0), (X_0=0):}$
(e fin qui niente di nuovo).
Visto che stiamo annullando l'indeterminata che abbiamo aggiunto, nella prima equazione in quel sistema sopravvivono solo i monomi che non la contengono, ovvero i monomi di $f$ (non omogeneizzato) che raggiungono il grado massimo. Questi infatti vengono lasciati invariati dal procedimento di omogeneizzazione (puoi vedere gli esempi di prima).
In particolare se $f(x,y)=0$ è l'equazione di una conica, i termini che raggiungono il grado massimo sono quelli di secondo grado, e sono solo quelli a determinare i punti impropri.
Ad esempio nelle due iperboli del messaggio di daniela87, puoi vedere che i termini di grado massimo sono gli stessi: allora saranno gli stessi anche i punti impropri.
Era questo che intendevi? Se no, scusa per tutta questa zuppa
!
Forse però ti riferivi al calcolo dei punti impropri, in questo caso:
se $f(x_1,ldots,x_n)=0$ è un'equazione della curva, $F(X_0,ldots,X_n)=X_0^(text(deg)(f))*f(X_1/X_0,...,X_n/X_0)$ è l'omogeneizzata (abbiamo aggiunto l'indeterminata X_0) allora i punti impropri sono soluzioni del sistema
${(F(X_0,ldots,X_n)=0), (X_0=0):}$
(e fin qui niente di nuovo).
Visto che stiamo annullando l'indeterminata che abbiamo aggiunto, nella prima equazione in quel sistema sopravvivono solo i monomi che non la contengono, ovvero i monomi di $f$ (non omogeneizzato) che raggiungono il grado massimo. Questi infatti vengono lasciati invariati dal procedimento di omogeneizzazione (puoi vedere gli esempi di prima).
In particolare se $f(x,y)=0$ è l'equazione di una conica, i termini che raggiungono il grado massimo sono quelli di secondo grado, e sono solo quelli a determinare i punti impropri.
Ad esempio nelle due iperboli del messaggio di daniela87, puoi vedere che i termini di grado massimo sono gli stessi: allora saranno gli stessi anche i punti impropri.
Era questo che intendevi? Se no, scusa per tutta questa zuppa
!
si esatto grazie
ok adesso anche io ho capito...grazie! 
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