Punti impropri

[AlyAly2]

Ciao a tutti, non mi è chiaro come si fa a classificare un punto improprio(ovvero dire se è una cuspide, ecc...).Ad esempio, prendendo la curva:
$ f(x,y)=x^2y+4(y-2) $
Io ho trovato che ha due punti impropri che sono $ P_0=[1:0:0] $ e $ P_1=[0:1:0] $ ...ma poi come devo proseguire?

[maurer]

Per lo studio di qualsiasi punto il mio consiglio è: traslare sempre e comunque nell'origine.
Quando il punto è improprio è ancora più facile: disomogeneizzare! Nel tuo caso si ha [tex]F(x,y,z) = x^2 y + 4y z^2 - 2z^3[/tex] e intersecando con [tex]z =0[/tex] otteniamo [tex]x = 0[/tex] oppure [tex]y = 0[/tex], ossia i punti [tex]P_0 = [1:0:0], P_1 = [0:1:0][/tex] che avevi correttamente individuato.

Studiamo il primo. Disomogeneizziamo rispetto alla [tex]x[/tex], ottenendo il polinomio [tex]g(y,z) = y + 4yz^2 - 2z^3[/tex] da studiare nell'origine. Il complesso delle tangenti è [tex]y = 0[/tex] e quindi questo è un punto semplice.
Sapresti procedere in modo analogo per lo studio del secondo?

[AlyAly2]

"maurer":
[tex]y = 0[/tex] e quindi questo è un punto semplice.

ma cercando gli eventuali punti semplici io avevo trovato che non ce n'erano...com'è possibile?
per l'altro punto allora mi viene $ y=2 $ e quindi è un punto doppio..giusto?ma come devo fare poi a dire se, ad esempio, è una cuspide?

[maurer]

"AlyAly":
ma cercando gli eventuali punti semplici io avevo trovato che non ce n'erano...com'è possibile?

In che senso non c'erano punti semplici???? I punti multipli sono sempre chiusi di Zariski e quindi sono sempre molto di meno dei punti semplici! Se ci mettiamo in ambito reale o complesso, l'insieme dei punti multipli di una curva affine ha misura nulla...

"AlyAly":
per l'altro punto allora mi viene $ y=2 $ e quindi è un punto doppio..giusto?ma come devo fare poi a dire se, ad esempio, è una cuspide?

Non ho capito che cosa hai fatto. L'altro punto è [tex]P = [0:1:0][/tex] e quindi per studiarlo disomogeneizziamo rispetto a y (poniamo [tex]y = 1[/tex]). Otteniamo [tex]x^2 + 4z^2 - 2z^3[/tex]. Il complesso delle tangenti è [tex]x^2 + 4z^2 = (x+ 2i z)(x - 2iz)[/tex] e pertanto abbiamo un punto doppio con tangenti complesse. Se sei limitata all'ambito reale, questo sarà di conseguenza un punto isolato.

[AlyAly2]

"maurer":[quote="AlyAly"]
ma cercando gli eventuali punti semplici io avevo trovato che non ce n'erano...com'è possibile?

In che senso non c'erano punti semplici???? I punti multipli sono sempre chiusi di Zariski e quindi sono sempre molto di meno dei punti semplici! Se ci mettiamo in ambito reale o complesso, l'insieme dei punti multipli di una curva affine ha misura nulla...[/quote]
Scusa ho fatto un pò di confusione, ho letto punti semplici ma ho pensato a punti singolari!!!!

"maurer":
[quote="AlyAly"]
per l'altro punto allora mi viene $ y=2 $ e quindi è un punto doppio..giusto?ma come devo fare poi a dire se, ad esempio, è una cuspide?

Non ho capito che cosa hai fatto. L'altro punto è [tex]P = [0:1:0][/tex] e quindi per studiarlo disomogeneizziamo rispetto a y (poniamo [tex]y = 1[/tex]). Otteniamo [tex]x^2 + 4z^2 - 2z^3[/tex]. Il complesso delle tangenti è [tex]x^2 + 4z^2 = (x+ 2i z)(x - 2iz)[/tex] e pertanto abbiamo un punto doppio con tangenti complesse. Se sei limitata all'ambito reale, questo sarà di conseguenza un punto isolato.[/quote]
Ho sbagliato, ho sempre disomogeneizzato rispetto alla x...ora è tutto chiaro, grazie!!
solo un ultimo dubbio che mi è venuto continuando l'esercizio...cercando i flessi ho calcolato il determinante della matrice hessiana, l'ho posto uguale a zero e ho ottenuto $ -128yz^2+192x^2z-32x^2y=0 $ e non son riuscita a fattorizzarlo per tovare i flessi...

[maurer]

Ricordi male la teoria. Non determinare la curva dell'hessiano. Devi intersecare tale curva con la curva di partenza. In altre parole devi risolvere
[tex]\begin{cases}x^2 y + 4y z^2-2z^3 = 0\\ 32 x^2 y + 128 yz^2 - 192 x^2 z = 0 \end{cases}[/tex]

Adesso [tex]x^2 y + 4yz^2 = 2z^3[/tex] e [tex]32x^2y + 128 yz^2 -192 x^2 z = 32(x^2y + 4yz^2) - 192 x^2z = 64 z(z^2 - 3x^2)[/tex]. Da qui in poi dovrebbe essere facile...

[AlyAly2]

Quindi i flessi sono $ z=0, z=+-xsqrt(3) $ ?

[maurer]

No, a quel punto devi tornare indietro e risolvere il sistema di partenza!
Da [tex]z = 0[/tex] otteniamo il sistema
[tex]\begin{cases} x^2 y = 0 \\ 32 x^2 y = 0\end{cases}[/tex]
che ci porta a [tex]x = 0[/tex] oppure [tex]y = 0[/tex]. Quindi otteniamo [tex]P_0 = [1:0:0][/tex] e [tex]P_1 = [0:1:0][/tex]. Il secondo punto lo scartiamo perché è un punto multiplo e non un flesso (questo metodo fornisce i punti multipli e i flessi, quindi bisogna scartare i primi).
Invece [tex]z = \sqrt{3} x[/tex] conduce a
[tex]\begin{cases} 13 x^2 y - 6\sqrt{3}x^3 = 0 \\
13 x^2 y - 6 \sqrt{3} x^3 = 0 \end{cases}[/tex]
e quindi [tex]x^2 (13 y - 6 \sqrt{3} x) = 0[/tex] ossia [tex]x = 0[/tex] oppure [tex]y = 6\sqrt{3}[/tex] e [tex]x = 13[/tex]. Otteniamo i punti [tex][0:1:0][/tex] e [tex][13,6\sqrt{3}, 13 \sqrt{3}][/tex]. Ti lascio il compito di studiare le soluzioni per [tex]z = - \sqrt{3}x[/tex].

[maurer]

Mi sono appena accorto di aver sbagliato una moltiplicazione all'inizio... Si aveva [tex]F(x,y,z) = x^2y +4yz^2 -8z^3[/tex]...
Beh la sostanza non cambia e probabilmente nemmeno troppi conti...