Punti impropri
Ciao a tutti.
Volevo chiedere aiuto riguardo a un argomento che abbiamo trattato nel corso di algebra lineare e geometria (studio fisica).
Riguardo ai punti impropri in generale e in particolare delle coniche.
A quanto ho capito sono punti in cui succede qualcosa all'infinito tipo che due rette parallele vi ci si incontrino all'infinito.
Ma mi rimangono dubbi.
Non cabisco perchè in una parabola il punto improprio è sull'asse delle parabola.
Se qualcuno mi può dare qualche delucidazione/mandarmi a qualche link gliene sarei molto grato.
Grazie!
Volevo chiedere aiuto riguardo a un argomento che abbiamo trattato nel corso di algebra lineare e geometria (studio fisica).
Riguardo ai punti impropri in generale e in particolare delle coniche.
A quanto ho capito sono punti in cui succede qualcosa all'infinito tipo che due rette parallele vi ci si incontrino all'infinito.
Ma mi rimangono dubbi.
Non cabisco perchè in una parabola il punto improprio è sull'asse delle parabola.
Se qualcuno mi può dare qualche delucidazione/mandarmi a qualche link gliene sarei molto grato.
Grazie!
Risposte
quote:
Originally posted by Teo Mi
Ciao a tutti.
Volevo chiedere aiuto riguardo a un argomento che abbiamo trattato nel corso di algebra lineare e geometria (studio fisica).
Riguardo ai punti impropri in generale e in particolare delle coniche.
A quanto ho capito sono punti in cui succede qualcosa all'infinito tipo che due rette parallele vi ci si incontrino all'infinito.
Ma mi rimangono dubbi.
Non cabisco perchè in una parabola il punto improprio è sull'asse delle parabola.
Se qualcuno mi può dare qualche delucidazione/mandarmi a qualche link gliene sarei molto grato.
Grazie!
L'unico modo per capirli è di parlare un po' di geometrica proiettiva.
Se consideri l'equazione della parabola y=x^2 e introduci le coordinate omogenee x=x1/x3 e y=x2/x3. Con questo cambiamento di coordinate associ ad ogni punto della parabola una retta uscente dall'origine dello spazio tridimensionale e passante per un punto della parabola nel piano x3=1. Puoi generalizzare considerando un generico punto uscente dall'origine e passante per un punto del piano x3=1. Questa corrispondenza "quasi" 1 ad 1 tra rette e punti ti consente di pensare ogni retta come un punto di un piano che viene detto piano proiettivo. In questo nuovo piano la tua equazione diventa x3x2=x1^2 e ha il punto (0,r,0) per r numero reale qualsiasi, puoi vedere questo punto come punto limite dei punti che stanno sulla tua parabola per y sempre più grandi, la relativa retta corrispondente tende ad un punto all'infinito sull'asse x. Ora si può parlare del "quasi" su cui ho "glissato", mi sembra ora intuitivo che conviene completare il piano euclideo aggiungendo tutti i punti all'infinito del tipo (x1,x2,0) che vengono detti impropri questo ripristina esattamente la corrispondenza 1 ad 1 tra piano proiettivo e piano euclideo completato con i punti all'infinito. Nota infine che nel piano proiettivo (x1,x2,x3) e (r*x1,r*x2,r*3) per r<>0 identificano lo punto per cui dovrebbe essere chiaro anche il termine coordinate omogenee. Se ora consideri l'insieme di punti (x1,x2,0) con x1,x2 reali li puoi scrivere come u*(1,0,0)+v*(0,1,0) con u,v parametri reali. Cioè hai formalmente l'equazione parametrica di una retta per i punti di coordinate omogenee (1,0,0) e (0,1,0), e infatto questa nella geomertia proiettiva viene proprio detta retta impropria. I punti all'infinito di una qualsiasi curva si ottengono come intersezione nel piano proiettivo con la retta impropria. Se ora provi a considerare due rette nel piano euclideo di equazioni ax+by+c=0 e dx+ey+f=0 se le trasporti nel piano proiettivo vedi che hanno sempre intersezione. Ad esempio le due rette parallele x=1 e x=2, nel piano proiettivo hanno equazione x1=x3 e x1=2x3 e hanno come intersezione il punto proiettivo (0,1,0).
Non so se è chiara la spiegazione in generale, comunque ci ho provato
.Ciao
Mistral
PS la spiegazione è a cavallo tra l'intuitivo e il formale quindi spero che i palati più fini non si scandalizzino troppo.
non riesco a comprendere completamente la tua spiegazione.
Per ciò che riguarda le coordinate omogenee ci sono.
il fatto è che a quanto avevo capito io, per trovare i punti impropri di una conica, sia necessario porre la coordinate omogenea x3=0. Quindi nel caso della parabola, noi eravamo giunti a stabilire che la parabola avesse un solo punto improprio che mi sembra sia quello che pure tu hai trovato in (0,r,0).
Ciò che mi sfugge è quello che segue, noi non abbiamo parlato di completamento del piano euclideo.
In pratica ci hanno detto che se una conica non ha punti impropri è un ellisse, se ne ha uno e una parabola e se ne ha due è un iperbole.
Ora come trovarli lo dovrei aver capito, ovvero mandando x3=0 ma ciò che non riesco a cogliere è il significato del punto improprio, cosa mi rappresenta?
Probabilemnte nella tua spiegazione dovrei riuscire a capirlo, ma continua a sfuggirmi.
Grazie
Teo
Per ciò che riguarda le coordinate omogenee ci sono.
il fatto è che a quanto avevo capito io, per trovare i punti impropri di una conica, sia necessario porre la coordinate omogenea x3=0. Quindi nel caso della parabola, noi eravamo giunti a stabilire che la parabola avesse un solo punto improprio che mi sembra sia quello che pure tu hai trovato in (0,r,0).
Ciò che mi sfugge è quello che segue, noi non abbiamo parlato di completamento del piano euclideo.
In pratica ci hanno detto che se una conica non ha punti impropri è un ellisse, se ne ha uno e una parabola e se ne ha due è un iperbole.
Ora come trovarli lo dovrei aver capito, ovvero mandando x3=0 ma ciò che non riesco a cogliere è il significato del punto improprio, cosa mi rappresenta?
Probabilemnte nella tua spiegazione dovrei riuscire a capirlo, ma continua a sfuggirmi.
Grazie
Teo
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Originally posted by Teo Mi
non riesco a comprendere completamente la tua spiegazione.
Per ciò che riguarda le coordinate omogenee ci sono.
il fatto è che a quanto avevo capito io, per trovare i punti impropri di una conica, sia necessario porre la coordinate omogenea x3=0. Quindi nel caso della parabola, noi eravamo giunti a stabilire che la parabola avesse un solo punto improprio che mi sembra sia quello che pure tu hai trovato in (0,r,0).
Ciò che mi sfugge è quello che segue, noi non abbiamo parlato di completamento del piano euclideo.
In pratica ci hanno detto che se una conica non ha punti impropri è un ellisse, se ne ha uno e una parabola e se ne ha due è un iperbole.
Ora come trovarli lo dovrei aver capito, ovvero mandando x3=0 ma ciò che non riesco a cogliere è il significato del punto improprio, cosa mi rappresenta?
Probabilemnte nella tua spiegazione dovrei riuscire a capirlo, ma continua a sfuggirmi.
Grazie
Teo
Ho cambiato in corso d'opera la spiegazione mentre tu facevi la domanda quindi prova a dargli un'occhiata se il dubbio permane stasera quando torno ti rispondo.
ciao
Mistral
quote:
Originally posted by Teo Mi
.....
Ora come trovarli lo dovrei aver capito, ovvero mandando x3=0 ma ciò che non riesco a cogliere è il significato del punto improprio, cosa mi rappresenta?
Probabilemnte nella tua spiegazione dovrei riuscire a capirlo, ma continua a sfuggirmi.
L'unico modo per dare un significato geometrico ai punti impropri è quello di vedere il piano euclideo immerso nel piano proiettivo che ho brevemente introdotto. Di conseguenza puoi immaginare il piano proiettivo come il piano euclideo + la retta dei punti impropri. Dal punto di vista pratico il grosso vantaggio di proiettivizzare è quello di non avere più casi particolari da trattare separatamente, ad esempio due rette distinte qualunque esse siano hanno sempre un punto di intersezione. Se poi passi alle curve algebriche, f(x,y)=0 con f polinomio di grado n, hai che due curve algebriche si intersecano sempre in un numero di punti almeno pari al prodotto dei loro rispettivi gradi. Se poi i relativi polinomi sono irriducibili e le curve non coincidono il numero di punti di intersezione è esattamente pari al prodotto dei gradi. Insomma una generalizzazione di quello che hai per le rette proiettive dove il prodotto dei gradi è 1.
Storicamente la geometria proiettiva è nata nello studio delle proiezioni di un piano euclideo in un altro e l'introduzione della retta all'infinito consente di trattare in modo più soddisfacente la questione. Infatti con l'introduzione della retta all'infinito la proiezione di un piano nell'altro stabilisce una corrispondenza biunivoca senza eccezioni.
Saluti
Mistral
Ti ringrazio per il tentativo.
Qualcosa in più ho colto.
L'unica cosa che non riesco a capire è il motivo per il quale ci hanno indrotto coordinate omogenee e punti impropri senza parlarci della geometria proiettiva.
Qualcosa in più ho colto.
L'unica cosa che non riesco a capire è il motivo per il quale ci hanno indrotto coordinate omogenee e punti impropri senza parlarci della geometria proiettiva.
mi aggiungo qui per non aprire un ulteriore topic sull'argomento. Ho un esercizio in cui mi si chiede proprio di valutare i punti impropri di una conica. la conica in questione è: $ 4x^2-8xy +4y^2-9=0 $.
se ho capito bene devo svolgere così:
considero la posizione x=x1/x3 e y=x2/x3 ottenendo così: $ 4(x1)^2 -8x1x2+4(x2)^2-9(x3)^2=0$ e la interseco con la retta impropria $ x3=0$
pongo poi $x2=1$ e risolvo l'equazione rispetto $x1$, in base al tipo e al numero di soluzioni ottengo i punti impropri e anche una classificazione della conica. E' giusto?
se ho capito bene devo svolgere così:
considero la posizione x=x1/x3 e y=x2/x3 ottenendo così: $ 4(x1)^2 -8x1x2+4(x2)^2-9(x3)^2=0$ e la interseco con la retta impropria $ x3=0$
pongo poi $x2=1$ e risolvo l'equazione rispetto $x1$, in base al tipo e al numero di soluzioni ottengo i punti impropri e anche una classificazione della conica. E' giusto?
Hai recuperato un thread di 13 anni fa... Alla faccia del necroposting!!!
Ad ogni modo, sì.
Passi in coordinate omogenee, intersechi con la retta impropria e risolvi rispetto alle due coordinate rimanenti.
Il numero di punti impropri non basta da solo a classificare (proiettivamente) la conica; ti servono i punti doppi, più che altro.
P.S.: Impara ad inserire correttamente i pedici.
Ad ogni modo, sì.
Passi in coordinate omogenee, intersechi con la retta impropria e risolvi rispetto alle due coordinate rimanenti.
Il numero di punti impropri non basta da solo a classificare (proiettivamente) la conica; ti servono i punti doppi, più che altro.
P.S.: Impara ad inserire correttamente i pedici.
Ok, la prossima volta farò attenzione ai pendici!
Ad ogni modo, pensavo che impropri e doppi fosse la stessa cosa, a quanto pare devo approfondire la cosa. Se avrò ancora difficoltà aprirò un nuovo post senza pescare uno di 20 anni fa
Grazie mille per l'informazione
Ad ogni modo, pensavo che impropri e doppi fosse la stessa cosa, a quanto pare devo approfondire la cosa. Se avrò ancora difficoltà aprirò un nuovo post senza pescare uno di 20 anni fa
Grazie mille per l'informazione
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