Punti di accumulazione in spazi T1
Domanda: se abbiamo ${x_n}_{n\inNN}$ in uno spazio topologico $X$, quale condizione dobbiamo aggiungere perché i punti di accumulazione dell'insieme ${x_1, x_2, ...}$ siano anche limiti di sottosuccessioni?
Mi pare di ricordare che la cosa funzionava se $X$ è uno spazio T1 (dati due punti distinti, ci sono due aperti che contengono un punto sì e l'altro no, o equivalentemente i singoletti sono chiusi) infinito. Difatti in uno spazio di questo tipo, se non mi sbaglio, ogni intorno di un punto di accumulazione per l'insieme $S$ contiene infiniti punti di $S$. Vero? Forse a questo punto mi servirebbe anche la 1-numerabilità?
Mi pare di ricordare che la cosa funzionava se $X$ è uno spazio T1 (dati due punti distinti, ci sono due aperti che contengono un punto sì e l'altro no, o equivalentemente i singoletti sono chiusi) infinito. Difatti in uno spazio di questo tipo, se non mi sbaglio, ogni intorno di un punto di accumulazione per l'insieme $S$ contiene infiniti punti di $S$. Vero? Forse a questo punto mi servirebbe anche la 1-numerabilità?
Risposte
credo la compattezza numerabile
Hint: Seguiamo le definizioni:
0) Aperti in (X,T1).
1) Punti di accumulazione
2) Limite di successione con gli intorni.
La ricetta si amalgama da sola se si segue il filo logico. Prova
0) Aperti in (X,T1).
1) Punti di accumulazione
2) Limite di successione con gli intorni.
La ricetta si amalgama da sola se si segue il filo logico. Prova
Dissonance, non capisco bene come fai a dimostrare che se lo spazio e' T1 allora ogni punto di accumulazione e' limite di una sottosuccessione.
Poi, quando dici che un punto e' limite di una successione intendi dire che e' un limite, vero? Perche' in generale negli spazi T1 i limiti delle successioni non sono unici (per esempio in $NN$ cofinito ogni successione senza ripetizioni converge ad ogni elemento di $NN$).
Poi, immagino che supponi che l'immagine della tua successione ${x_n}_n$ sia infinito.. l'altro caso dovrebbe essere piu' facile. Boh
Poi, quando dici che un punto e' limite di una successione intendi dire che e' un limite, vero? Perche' in generale negli spazi T1 i limiti delle successioni non sono unici (per esempio in $NN$ cofinito ogni successione senza ripetizioni converge ad ogni elemento di $NN$).
Poi, immagino che supponi che l'immagine della tua successione ${x_n}_n$ sia infinito.. l'altro caso dovrebbe essere piu' facile. Boh
Ciao! Scusate, non stavo seguendo questo topic... Allora, per precisare meglio il discorso, quello che mi serve sapere è sotto quali condizioni sullo spazio topologico $X$ possiamo sempre dire che ${"punti di accumulazione dell'insieme"\ {x_n}}\sub{p\inX\ |\ \exists{n_k}\ "t.c."\ x_{n_k}\to p}$ fregandocene dell'unicità dell'ultimo limite.
Che è una cosa vera negli spazi metrici.
Infatti (*): negli spazi metrici se un punto $p$ è di accumulazione per un insieme $S$ ogni intorno di $p$ contiene infiniti punti di $S$. Inoltre ogni spazio metrico è 1-numerabile, quindi se $p$ è un punto di accumulazione per l'insieme ${x_n\ |\ n\inNN}$ possiamo costruire una sottosuccessione così:
detto $E_n={x_k\ |\ k>n}$, per ogni $n$ questo insieme interseca di sicuro il disco aperto di centro $p$ e raggio $1/n$, per via di (*). E perciò possiamo scegliere un elemento in ognuna di queste intersezioni ottenendo una sottosuccessione convergente.
Niente di nuovo sotto il sole, lo so, era semplicemente per spiegare il discorso che mi sono fatto.
Come generalizzo questo risultato a uno spazio topologico? E' chiaro che tutto funziona se parliamo di spazi 1-numerabili con la proprietà (*). Una voce di dentro mi dice che (*) vale negli spazi T1. Ma faccio bene a dare ascolto alle voci o è meglio se mi faccio ricoverare per un po'?
P.S.: Questa cosa non è vera sempre. L'esempio più scemo che mi viene in mente è questo: dato ${a,b,c}$ con la topologia ${\emptyset, {a,b,c}, {a,b}, {a}}$, prendiamo la successione ${(x_1=a,), (x_n=c, \forall n>1):}$. E' chiaro che questa non può avere sottosuccessioni $\tob$ ma $b$ è un punto di accumulazione della sua immagine: infatti gli unici intorni di $b$ sono ${a,b}, {a,b,c}$ e la successione li interseca tutti e due in punti diversi da $b$.
Che è una cosa vera negli spazi metrici.
Infatti (*): negli spazi metrici se un punto $p$ è di accumulazione per un insieme $S$ ogni intorno di $p$ contiene infiniti punti di $S$. Inoltre ogni spazio metrico è 1-numerabile, quindi se $p$ è un punto di accumulazione per l'insieme ${x_n\ |\ n\inNN}$ possiamo costruire una sottosuccessione così:
detto $E_n={x_k\ |\ k>n}$, per ogni $n$ questo insieme interseca di sicuro il disco aperto di centro $p$ e raggio $1/n$, per via di (*). E perciò possiamo scegliere un elemento in ognuna di queste intersezioni ottenendo una sottosuccessione convergente.
Niente di nuovo sotto il sole, lo so, era semplicemente per spiegare il discorso che mi sono fatto.
Come generalizzo questo risultato a uno spazio topologico? E' chiaro che tutto funziona se parliamo di spazi 1-numerabili con la proprietà (*). Una voce di dentro mi dice che (*) vale negli spazi T1. Ma faccio bene a dare ascolto alle voci o è meglio se mi faccio ricoverare per un po'?
P.S.: Questa cosa non è vera sempre. L'esempio più scemo che mi viene in mente è questo: dato ${a,b,c}$ con la topologia ${\emptyset, {a,b,c}, {a,b}, {a}}$, prendiamo la successione ${(x_1=a,), (x_n=c, \forall n>1):}$. E' chiaro che questa non può avere sottosuccessioni $\tob$ ma $b$ è un punto di accumulazione della sua immagine: infatti gli unici intorni di $b$ sono ${a,b}, {a,b,c}$ e la successione li interseca tutti e due in punti diversi da $b$.
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