Pullback di una k-forma differenziale
Salve!
Qualche anima pia potrebbe farmi un esempio esplicito di pullback di una k-forma differenziale da $\mathbb{R}^3$ a $\mathbb{R}^2$ e/o $\mathbb{R}^4$? O anche solo consigliarmi un libro/sito in cui ci sia il calcolo esplicito.
Grazie
Qualche anima pia potrebbe farmi un esempio esplicito di pullback di una k-forma differenziale da $\mathbb{R}^3$ a $\mathbb{R}^2$ e/o $\mathbb{R}^4$? O anche solo consigliarmi un libro/sito in cui ci sia il calcolo esplicito.
Grazie
Risposte
Sul Do Carmo, "differential forms", spiega bene il pull back.
Ok, grazie
Un altro ottimo riferimento bibliografico è Spivak - Calculus on Manifolds.[ot]IMHO l'unico autore che scrive libri degni di geometria differenziale![/ot]
"j18eos":
Un altro ottimo riferimento bibliografico è Spivak - Calculus on Manifolds.[ot]IMHO l'unico autore che scrive libri degni di geometria differenziale![/ot]
[ot]E io che ti prendevo per un tipo da Kolar-Slovak-Michor. http://www.emis.de/monographs/KSM/[/ot]
@super_al57: il libro in OT non è probabilmente il libro che cerchi.
@vict85[ot]... 
A leggerlo ci riesco, pure a capirlo, almeno fino al capitolo 3 (ove arrivai); ma non è nel mio stile: troppo purista, poco applicativo, ed esercizi assenti!
Scandalosamente (per me), trovo migliori (rispetto al KMS) i due volumi di Kobayashi e Nomizu - Foundations of Differential Geometry.[/ot]@super_al57 Non provare nemmeno ad avvicinarti a questi testi!
A leggerlo ci riesco, pure a capirlo, almeno fino al capitolo 3 (ove arrivai); ma non è nel mio stile: troppo purista, poco applicativo, ed esercizi assenti!Scandalosamente (per me), trovo migliori (rispetto al KMS) i due volumi di Kobayashi e Nomizu - Foundations of Differential Geometry.[/ot]@super_al57 Non provare nemmeno ad avvicinarti a questi testi!
Comunque fare un esempio non è difficile. Partiamo da un 1-forma su \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \), per esempio \(\displaystyle \omega = x^2 y\,\mathrm{d}x + z\,\mathrm{d}y \). Consideriamo quindi \(\displaystyle \Psi \colon (u,v) \mapsto (u,v,uv) \).
Hai che \(\displaystyle \Phi^{*}\omega = u^2 v\,\mathrm{d}u + uv\,\mathrm{d}v \). (in pratica ho sostituito \(\displaystyle x \) con \(\displaystyle u \), \(\displaystyle y \) con \(\displaystyle v \) e \(\displaystyle z \) con \(\displaystyle uv \) ). Un po' più difficile da vedere è \(\displaystyle \Phi^{*}\mathrm{d}z = \mathrm{d}(uv) = v\,\mathrm{d}u + u\,\mathrm{d}v \) (insomma in questi casi devi calcolare il differenziale della funzione).
Insomma a parole sembra peggio di quel che è in realtà. Per quanto riguarda il \(\displaystyle \wedge \) le cose vanno nel modo che ti aspetti.
Prova a farne uno tu: \(\displaystyle \Phi\colon (z,y,z) \mapsto (x^2 + xy + z^3, x - y + 3xyz) \) con \(\displaystyle \omega = (v+u)\,\mathrm{d}u - (2v+4u)\,\mathrm{d}v \).
Hai che \(\displaystyle \Phi^{*}\omega = u^2 v\,\mathrm{d}u + uv\,\mathrm{d}v \). (in pratica ho sostituito \(\displaystyle x \) con \(\displaystyle u \), \(\displaystyle y \) con \(\displaystyle v \) e \(\displaystyle z \) con \(\displaystyle uv \) ). Un po' più difficile da vedere è \(\displaystyle \Phi^{*}\mathrm{d}z = \mathrm{d}(uv) = v\,\mathrm{d}u + u\,\mathrm{d}v \) (insomma in questi casi devi calcolare il differenziale della funzione).
Insomma a parole sembra peggio di quel che è in realtà. Per quanto riguarda il \(\displaystyle \wedge \) le cose vanno nel modo che ti aspetti.
Prova a farne uno tu: \(\displaystyle \Phi\colon (z,y,z) \mapsto (x^2 + xy + z^3, x - y + 3xyz) \) con \(\displaystyle \omega = (v+u)\,\mathrm{d}u - (2v+4u)\,\mathrm{d}v \).
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