Provare che un sottoinsieme è un sottospazio

[maverik90000]

Buon giorno ragazzi mi trovo a chiedere il vostro aiuto su questo esercizio perche nonostante abbia provato a cercare una soluzione non sono riuscito a trovarne una che possa definirsi tale . Vi ringrazio per ogni aiuto.

Consideriamo lo spazio vettoriale $RR^3$ , si provi che il sottoinsieme: $H$ = $ {(a,b,c):a = 2c ; b = 0 } $ è un sottospazio.
Determinare due sottospazi We K tali che $H + W = H+K = RR^3$

[Gi81]

Saprai senz'altro che $H$ è sottospazio di $RR^3$ se e solo se vale \[\forall u,v \in H,\forall \lambda, \mu \in \mathbb{R}\qquad \lambda u +\mu v \in H\]

[maverik90000]

ok , ma non riesco a capire l'utilità di a e b cioè cosa devo fare con quei valori

[Gi81]

Allora, un vettore di $RR^3$ appartiene ad $H$ se e solo se la prima componente è doppia della terza e la seconda è nulla.
Va meglio così?

[maverik90000]

si ma questo a parole l'ho capito , ma non riesco a capire come dimostrarlo in matematica , perche non credo che alla prof basti quella definizione , poi non so =)

[maverik90000]

ps: ti ringrazio per l'aiuto =)

[Gi81]

Infatti non si è ancora dimostrato nulla.

Prendiamo due generici vettori $u,v in H$.
Dunque $u=(2c,0,c)$ con $c in RR$ e $v=(2d, 0, d)$ con $d in RR$
Siano $lambda, mu in RR$ generici.

Quanto fa $lambda u+ mu v$? La seconda componente è nulla? La prima è doppia della terza?

[maverik90000]

la seconda componente è nulla ad entrambi, la prima è doppia della terza e la somma dovrebbe essere $ 2cd, 0 ,cd$ (credo di scrivere una cavolata pero ..)

[Gi81]

Sì, hai scritto una cavolata. Dai, un po' di impegno

[maverik90000]

ok allora ,
se $(a,b,c,) e (d,e,f) $sono in $H$ allora credo di poter scrivere $(a,b,c)-(d,e,f) = (a-d, b-e, c-f) ∈ H $ poichè $(a-d)+(c-f) = (a+c) - (d+f) = 2c $

[maverik90000]

fino a qui sto scrivendo ancora cavolate? o sono sulla buona strada?