Provare che U è una base di R3 ecc...

[CRIz1]

Ciao a tutti..
Non riesco a cavarne piede neppure da questo esercizio. Vi incollo il testo:

Si considerino i vettori u1(2,0,1), u2(2,-3,-1), u3(3,-2,1) espressi in coordinate rispetto alla base canonica C = {e1,e2,e3 } di R3 . Dopo aver provato che U = {u1,u2,e2} è una base di R3, trovare le coordinate del vettore u3 rispetto alla base ordinata U.

siccome i vettori u1,u2,u3 sono espressi in coordinate rispetto alla base canonica:

e1=(1,0,0) u1=f(e1)=(2,0,1)
e2=(0,1,0) u2=f(e2)=(2,-3,-1)
e3=(0,0,1) u3=f(e3)=(3,-1,1)

matrice A:
|2 2 3|
|0 -3 -2|
|1 1 1|

ora dovrei provare che {u1,u2,e1} è una base di R3

Una base B di uno spazio vettoriale V è un insieme di vettori di V che gode di due proprietà:
1) tutti i vettori di B sono linearmente indipendenti
2) ogni vettore di V può essere espresso mediante combinazione lineare dei vettori di B

quindi scrivo la matrice U={u1,u2,e2} ...è giusta scritta per righe o deve essere scritta per colonne?

|2 0 1|
|2 -3 -1|
|0 1 0|

ora i vettori sono tutti e 3 linearmente indipendenti, quindi la prima condizione è verificata. e deduco, correggetemi se sbaglio, che i vettori generano tutto lo spazio R3, quindi U è una base di R3...... (di conseguenza se i vettori di U fossero stati solo 2 lin.indipendenti la matrice U non sarebbe stata una base... è giusto questo ragionamento? )

La seconda nn so come procedere.... per ora quello che ho fatto è giusto?

Grazie per le eventuali risposte!

[CRIz1]

provo a risolvere la seconda parte:

ora devo trovare le coordinate del vettore u3(3,-2,1) rispetto alla base ordinata U={u1,u2,e2}...

quindi devo esprimere u3 come combinazione lineare di U.

x*u1 +y*u2 +z*e2=u3
x(2,0,1)+y(2,-3,-1)+z(0,1,0)=(-3,-2,1)

|2x+2y+0z=-3
|0x-3y+1z=-2
|1x-1y+0z=1

|y=-5/4
|z=9/4
|x=1/4

ora salvo errori nel sistema, questo dovrebbe essere il risultato...
sono giusti i ragionamenti e le domande in grassetto?
...e soprattutto come giuste come sono scritte le matrici, per colonne o per righe... (da cosa dipende che una matrice si scrive per colonna o per riga...)

[CRIz1]

"Sergio":
A che serve questa roba? Cosa è $f$? A che ti serve quella matrice? Potevi evitare tutto questo.

sinceramente non so bene a cosa serva, ho capito solo che quando nel testo si dice, che è associata alla base canonica, devo scriverlo e la matrice che nasce devo scriverla per colonne

"Sergio":
Lo affermi ma non lo dimostri. Puoi dimostrarlo in due modi:
a) Metti i tre vettori in una matrice, per righe o per colonne non importa, e calcoli il determinante. Se è diverso da 0, i tre vettori sono linearmente indipendenti.
b) Metti i tre vettori in una matrice per righe e riduci la matrice a gradini. Se non ottieni righe nulle i vettori sono linearmente indipendenti.

si hai ragione scusa, ma ho fatto Gauss su carta e mi sn dimenticato di riportarlo..

"CRIz":ora i vettori sono tutti e 3 linearmente indipendenti, quindi la prima condizione è verificata. e deduco, correggetemi se sbaglio, che i vettori generano tutto lo spazio R3, quindi U è una base di R3...... (di conseguenza se i vettori di U fossero stati solo 2 lin.indipendenti la matrice U non sarebbe stata una base... è giusto questo ragionamento?)

"Sergio":
Sì, il ragionamento è giusto.

inizio a capire qualcosa allora

"Sergio":
Noto solo che il procedimento è corretto, ma il primo elemento di u3, che era 3, nel sistema è diventato -3.

ok, a parte quell'errore, se il procedimento è giusto, sn contento!
Grazieeeeee milleeeeeeeeee!

[CRIz1]

che dire, hai perfettamente ragione!
grazieeeee milleee, qualcosa mi è più chiaro..

Speriamo che domani l'esame vada bene!
anche se un po' di culo sugli esercizi non farebbe male.. ahahhaha