Prova d'esame: matrici simili
Stavo guardando questa prova d'esame passata e non capisco come impostare questo punto:
SI consideri $A=((2,k,0),(k,2,0),(k,0,5))$
Il punto c chiede: per K=3 dire se la matrice A è simile a una matrice triangolare superiore.
Non capisco però come esprimere $P^-1AP=T$ con i dati che ho per dimostrarne la possibilità o meno dell'esistenza.
Grazie per l'aiuto
SI consideri $A=((2,k,0),(k,2,0),(k,0,5))$
Il punto c chiede: per K=3 dire se la matrice A è simile a una matrice triangolare superiore.
Non capisco però come esprimere $P^-1AP=T$ con i dati che ho per dimostrarne la possibilità o meno dell'esistenza.
Grazie per l'aiuto
Risposte
Puoi ricavare sia $T$ matrice diagonale composta dagli autovalori di $A$ e $P$ calcolando le basi dei relativi autospazi.
se il prodotto matriciale tra $P^(-1)AP$ risulta uguale a $T$ allora $A$ è simile a $T$.
Ci sono tante guide in giro su come procedere è inutile star qui a riscrivertele
se il prodotto matriciale tra $P^(-1)AP$ risulta uguale a $T$ allora $A$ è simile a $T$.
Ci sono tante guide in giro su come procedere è inutile star qui a riscrivertele
Faccio un up perché sono ancora in cerca di risposta. 
In effetti non l'ho scritto perché non ci ho pensato che senza svolgere gli altri punti uno non lo vedesse ad occhio... non è diagonalizzabile per quel valore di K poiché ha molteplicità geometrica minore di quella algebrica.
Quello era il mio problema, altrimenti avrei fatto come dici tu e hai ragione, è molto facile
Scusa l'omissione, non sono stato chiaro
In effetti non l'ho scritto perché non ci ho pensato che senza svolgere gli altri punti uno non lo vedesse ad occhio... non è diagonalizzabile per quel valore di K poiché ha molteplicità geometrica minore di quella algebrica.
Quello era il mio problema, altrimenti avrei fatto come dici tu e hai ragione, è molto facile
Scusa l'omissione, non sono stato chiaro
Conosci questo teorema?
Se $V$ è uno spazio vettoriale sul campo $\mathbb{K}$, l'endormorfismo $T:V\rightarrow V$ è triangolarizzabile se e solo se il suo spettro è interamente contenuto in $\mathbb{K}$
In parole povere, ti basta calcolare gli autovalori della matrice. Se sono tutti reali, allora la risposta al quesito è affermativa. (Chiaramente si suppone tacitamente che la matrice sia sul campo reale; nel caso complesso sarebbe triangolarizzabile a prescindere, e l'esercizio sarebbe banale).
Se $V$ è uno spazio vettoriale sul campo $\mathbb{K}$, l'endormorfismo $T:V\rightarrow V$ è triangolarizzabile se e solo se il suo spettro è interamente contenuto in $\mathbb{K}$
In parole povere, ti basta calcolare gli autovalori della matrice. Se sono tutti reali, allora la risposta al quesito è affermativa. (Chiaramente si suppone tacitamente che la matrice sia sul campo reale; nel caso complesso sarebbe triangolarizzabile a prescindere, e l'esercizio sarebbe banale).
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