Prossimità arbitraria
Ciao, amici! Nei Fondamenti della Geometria di Hilbert trovo la seguente affermazione a proposito di quelle che vengono assiomaticamente definite rotazioni, che sono trasformazioni biunivoche continue* di $\mathbb{R}^2$ in sé:
Io, chiamati $R_M$ il gruppo delle rotazioni intorno ad $M$ e \(D_r (P)\) il disco aperto di raggio $r$ centrato in $P$, interpreterei questa affermazione come \[ \exists\rho_1,\rho_2,...\in R_M\quad \exists P_1,P_2,...\in\mathbb{R}^2:(\lim_{n}P_n=A\land\lim_{n}\rho_n(P_n)=A')\Rightarrow\exists\rho\in R_M: \rho(A)=A' \]
Qualcuno sarebbe così gentile da dirmi se tale interpretazione sia corretta? Probabilmente è una bazzecola, ma non sono abituato a spiegazioni "informali" senza l'utilizzo di notazione logica e non ho molta dimestichezza con il matematichese parlato
...
[size=85]*Spero che applicazione continua abbia lo stesso significato che ha oggi. Ho precedentemente postato una domanda simile a questa senza accorgermi che l'interpretazione là data conteneva un antecedente banalmente verificato data la continuità delle rotazioni. Adesso mi rendo conto che Hilbert non poteva intendere una cosa tanto banale...[/size]
Se c'è una rotazione intorno al punto $M$ per la quale un punto arbitrariamente prossimo al punto $A$ può venire portato in un punto arbitrariamente prossimo ad \(A'\), c'è sempre anche una rotazione intorno ad $M$ che porta esattamente $A$ in \(A'\).
Io, chiamati $R_M$ il gruppo delle rotazioni intorno ad $M$ e \(D_r (P)\) il disco aperto di raggio $r$ centrato in $P$, interpreterei questa affermazione come \[ \exists\rho_1,\rho_2,...\in R_M\quad \exists P_1,P_2,...\in\mathbb{R}^2:(\lim_{n}P_n=A\land\lim_{n}\rho_n(P_n)=A')\Rightarrow\exists\rho\in R_M: \rho(A)=A' \]
Qualcuno sarebbe così gentile da dirmi se tale interpretazione sia corretta? Probabilmente è una bazzecola, ma non sono abituato a spiegazioni "informali" senza l'utilizzo di notazione logica e non ho molta dimestichezza con il matematichese parlato
...[size=85]*Spero che applicazione continua abbia lo stesso significato che ha oggi. Ho precedentemente postato una domanda simile a questa senza accorgermi che l'interpretazione là data conteneva un antecedente banalmente verificato data la continuità delle rotazioni. Adesso mi rendo conto che Hilbert non poteva intendere una cosa tanto banale...[/size]
Risposte
Dato che si parla del piano usuale con un sistema di coordinate $x,y$ sono convinto che si tratti di $\mathbb{R}^2$ con la distanza e la topologia euclidee. Per l'appunto mi mette ansia la scarsezza di formalismo del testo...
Allora direi che la frase significa:
\[ \begin{split} \left [ \forall \varepsilon \in \mathbb{R}^+ \, \ \forall \delta \in \mathbb{R}^+ \, \ \exists \rho \in R_M : \left ( \forall X \in \mathbb{R}^2 \, \ \forall Y \in \mathbb{R}^2 : {\rm d}(A,X) < \varepsilon \land {\rm d}(A^{\prime},Y) < \delta \Rightarrow \rho(X) = Y \right ) \right ] \\ \Rightarrow \exists \rho \in R_M : \rho(A) = A^{\prime} \end{split}\]
dove \(\displaystyle \rm d \) è la distanza euclidea. E aggiungerei che capisco perché si è optato per il matematichese parlato
\[ \begin{split} \left [ \forall \varepsilon \in \mathbb{R}^+ \, \ \forall \delta \in \mathbb{R}^+ \, \ \exists \rho \in R_M : \left ( \forall X \in \mathbb{R}^2 \, \ \forall Y \in \mathbb{R}^2 : {\rm d}(A,X) < \varepsilon \land {\rm d}(A^{\prime},Y) < \delta \Rightarrow \rho(X) = Y \right ) \right ] \\ \Rightarrow \exists \rho \in R_M : \rho(A) = A^{\prime} \end{split}\]
dove \(\displaystyle \rm d \) è la distanza euclidea. E aggiungerei che capisco perché si è optato per il matematichese parlato
Grazie di cuore!
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