Proprietà vettori Linearmente dipendenti e indipendenti
Salve,
qualcuno potrebbe spiegarmi tramite ragionamento perché
Purtroppo è la prima volta che vedo questi concetti e i testi non lo spiegano.
Grazie mille, a presto.
qualcuno potrebbe spiegarmi tramite ragionamento perché
Se dei vettori sono LD e sostituisco uno di loro più una combinazione lineare degli altri i vettori restano LD. Idem se sono LI.
Purtroppo è la prima volta che vedo questi concetti e i testi non lo spiegano.
Grazie mille, a presto.
Risposte
Magari scrivendo linearmente dipendenti, linearmente indipendenti, combinazione lineare si capisce meglio .
Possiamo dire che dei vettori sono linearmente dipendenti se e solo se una loro combinazione non nulla da il vettore nullo:
$exists a_1, a_k in \mathbb{K} \text{ , } exists i in {1,...,k} t.c. a_i≠0 \text{ , } $
$a_1 v_1 +...+a_k v_k=0 => v_1 =-1/a_1 (a_2 v_2+ ...+ a_k v_k)$
Supponiamo, senza perdere di generalità, che il vettore che sostituiamo sia il primo:
$sigma(v_1) => b_1 v_1 +...+b_k v_k$
Ma la relazione di prima ci dice:
$sigma(v_1)= -b_1/a_1 (a_2 v_2+ ...+ a_k v_k) + b_2 v_1 +...+b_k v_k$
$sigma(v_1)+b_1/a_1 (a_2 v_2+ ...+ a_k v_k) + b_2 v_1 +...+b_k v_k=0$
Quindi è linearmente dipendente, riesci a trovare la stessa cosa per l'indipendenza?
Possiamo dire che dei vettori sono linearmente dipendenti se e solo se una loro combinazione non nulla da il vettore nullo:
$exists a_1, a_k in \mathbb{K} \text{ , } exists i in {1,...,k} t.c. a_i≠0 \text{ , } $
$a_1 v_1 +...+a_k v_k=0 => v_1 =-1/a_1 (a_2 v_2+ ...+ a_k v_k)$
Supponiamo, senza perdere di generalità, che il vettore che sostituiamo sia il primo:
$sigma(v_1) => b_1 v_1 +...+b_k v_k$
Ma la relazione di prima ci dice:
$sigma(v_1)= -b_1/a_1 (a_2 v_2+ ...+ a_k v_k) + b_2 v_1 +...+b_k v_k$
$sigma(v_1)+b_1/a_1 (a_2 v_2+ ...+ a_k v_k) + b_2 v_1 +...+b_k v_k=0$
Quindi è linearmente dipendente, riesci a trovare la stessa cosa per l'indipendenza?
All'inizio è $∃a1,ak∈[1,K]$? altrimenti come è definito $K$? poi andiamo a sostituire $v1$ con $sigma(v_1) = b_1 v_1 +...+b_k v_k$ che è la nostra combinazione lineare dei vettori di partenza, giusto?
Qui mi son perso:
$sigma(v_1)= -b_1/a_1 (a_2 v_2+ ...+ a_k v_k) + b_2 v_1 +...+b_k v_k$
non capisco cosa abbiamo fatto...
Grazie mille per l'aiuto! Gentilissimo.
Qui mi son perso:
$sigma(v_1)= -b_1/a_1 (a_2 v_2+ ...+ a_k v_k) + b_2 v_1 +...+b_k v_k$
non capisco cosa abbiamo fatto...
Grazie mille per l'aiuto! Gentilissimo.
$\mathbb{K}$ è il campo!
Abbiamo sostituito la combinazione lineare trovata in precedenza al vettore $v_1$ nella funzione sigma di sostituzione.
Abbiamo sostituito la combinazione lineare trovata in precedenza al vettore $v_1$ nella funzione sigma di sostituzione.
1) Che senso ha dire che degli scalari $a_1, a_2,...,a_k$ appartengono a un campo? Non dobbiamo dire che appartengono a $R$?
2)E poi tu sei partito da $ v_1 =-1/a_1 (a_2 v_2+ ...+ a_k v_k)$ e poi sostituisci $v_1$ con sigma...essendo $sigma(v_1) = b_1 v_1 +...+b_k v_k$ come hai scritto tu non dovrebbe venire $ b_1 v_1 +...+b_k v_k=-1/a_1 (a_2 v_2+ ...+ a_k v_k)$?
Cioè, ti chiedo di ricontrollare il tuo post perché non mi trovo con i segni e di spiegarmi perché lasci sigma...
grazie
2)E poi tu sei partito da $ v_1 =-1/a_1 (a_2 v_2+ ...+ a_k v_k)$ e poi sostituisci $v_1$ con sigma...essendo $sigma(v_1) = b_1 v_1 +...+b_k v_k$ come hai scritto tu non dovrebbe venire $ b_1 v_1 +...+b_k v_k=-1/a_1 (a_2 v_2+ ...+ a_k v_k)$?
Cioè, ti chiedo di ricontrollare il tuo post perché non mi trovo con i segni e di spiegarmi perché lasci sigma...
grazie
E dove è scritto che siamo in $RR$, questo vale in un campo qualsiasi...
Sostituisco $v_1$ con sigma non vuol dire che $v_1=sigma(v_1)$ anzi il vettore è diverso.. E ovviamente vale la relazione di prima, quindi, quando trovo il vettore $v_1$ nella definizione di sigma, gli sostituisco la combinazione lineare degli altri vettori. Se non riesci a capire, prenditi dei vettori dipendenti e prova ad effettuare una sostituzione, magari ti trovi meglio..
Sostituisco $v_1$ con sigma non vuol dire che $v_1=sigma(v_1)$ anzi il vettore è diverso.. E ovviamente vale la relazione di prima, quindi, quando trovo il vettore $v_1$ nella definizione di sigma, gli sostituisco la combinazione lineare degli altri vettori. Se non riesci a capire, prenditi dei vettori dipendenti e prova ad effettuare una sostituzione, magari ti trovi meglio..
Credo di aver capito il passaggio.
abbiamo:
$v_1 =-1/a_1 (a_2 v_2+ ...+ a_k v_k)$
sostituiamo $v_1$ con una combinazione lineare $sigma(v_1)=b_1 v_1 +...+b_k v_k$
ma sappiamo che $v_1$ è quello visto prima quindi:
$sigma(v_1)=b_1 [-1/a_1 (a_2 v_2+ ...+ a_k v_k)] +...+b_k v_k$
Quindi $sigma(v_1)+b_1/a_1 (a_2 v_2+ ...+ a_k v_k)-...-b_k v_k$ giusto?
abbiamo:
$v_1 =-1/a_1 (a_2 v_2+ ...+ a_k v_k)$
sostituiamo $v_1$ con una combinazione lineare $sigma(v_1)=b_1 v_1 +...+b_k v_k$
ma sappiamo che $v_1$ è quello visto prima quindi:
$sigma(v_1)=b_1 [-1/a_1 (a_2 v_2+ ...+ a_k v_k)] +...+b_k v_k$
Quindi $sigma(v_1)+b_1/a_1 (a_2 v_2+ ...+ a_k v_k)-...-b_k v_k$ giusto?
Si, era un meno! 
Per tutti i b
Per tutti i b
E per dire elegantemente che è linearmente dipendente, arrivato a questo punto, come lo diresti?
C'è quella combinazione che fa zero, quindi basta dire che:
$exists a_1,...,a_k in \mathbb{k}, exists i in {1,...,k} \text{ t.c. } a_i≠0$
$a_1 v_1 + ...+ a_k v_k=0$
$exists a_1,...,a_k in \mathbb{k}, exists i in {1,...,k} \text{ t.c. } a_i≠0$
$a_1 v_1 + ...+ a_k v_k=0$
Per ipotesi esiste un coefficiente non nullo ergo sono linearmente dipendenti?
Comunque ora che vedevo noi abbiamo sostituito $v_1$ con una Combinazione Lineare.
Se invece volessi vedere che <> come posso vederlo?
Se invece volessi vedere che <> come posso vederlo?
Alla stesso modo è solo una caso particolare di quello che abbiamo appena dimostrato.
Domani vedo con calma se ci arrivo e in caso dovessi avere problemi lo scrivo qui. Ma secondo te è normale avere tutte queste difficoltà i primi tempi a lavorare con questi oggetti? Ho affrontato vari nuovi argomenti, sarà che son stati tutti di analisi però afferrare bene l'algebra lineare mi sta dando parecchi problemi...vabbé che l'ho iniziata ieri però mi preoccupo un po'...hai qualche consiglio? Esercizi/Dimostrazioni...?
Il mio consiglio è maneggiare oggetti concreti, prova a lavorare in $RR^3$ e trovare dei vettori dipendenti, indipenti, fare, brigare.. Con calma prendi la mano!
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