Proprietà superficie di curvatura -1
Ciao, amici! Nei Fondamenti della Geometria Hilbert discute, a proposito di possibili modelli di piano iperbolico, di superfici, analitiche, a curvatura gaussiana costante -1. Se $O$ è un punto qualsiasi di tale superficie Hilbert dice, come mi rendo conto pensando al teorema del Dini, che essa, con un'opportuna scelta di riferimento cartesiano, può essere rappresentata dall'equazione\[z=ax^2+by^2+\mathfrak{P}(x,y)\]dove $\mathfrak{P}(x,y)$ è una serie di potenze. Fin qui ci sono.
Hilbert aggiunge poi che $a$ e $b$ possono essere scelte tali che $4ab=-1$ (che calcolo velocemente come curvatura gaussiana in $O$) e che \(\mathfrak{P}(x,y)\) contenga solo termini in $x,y$ di grado $\geq 3$. Se \(\mathfrak{P}(x,y)\) contenesse termini di grado 0, mi è chiaro che una traslazione otterrebbe quanto voluto, ma come garantire che non ci siano termini di grado 1 in \(\mathfrak{P}(x,y)\)?
Procede poi, scegliendo una parametrizzazione della superficie di tipo $(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ dove $u,v$ sono le ascisse curvilinee sulle due curve asintotiche passanti per $O$, affermando che
L'unica cosa che capisco in questo passaggio è chi sono $e,f,g$, cioè gli elementi della matrice della prima forma fondamentale, ma non ho idea del perché debbano assumere quei valori (intuitivamente mi sembrerebbe che ciò dovrebbe valere anche se la curvatura gaussiana della superficie non fosse -1, ma è solo un'impressione), né perché valga quell'equazione alle derivate parziali per \(\varphi\). Qualcuno conosce la ragione di almeno di alcuni di questi fatti?
$\infty$ grazie a chi mi aiuterà a vederci un po' meno oscuro in quest'argomento tanto interessante!
Hilbert aggiunge poi che $a$ e $b$ possono essere scelte tali che $4ab=-1$ (che calcolo velocemente come curvatura gaussiana in $O$) e che \(\mathfrak{P}(x,y)\) contenga solo termini in $x,y$ di grado $\geq 3$. Se \(\mathfrak{P}(x,y)\) contenesse termini di grado 0, mi è chiaro che una traslazione otterrebbe quanto voluto, ma come garantire che non ci siano termini di grado 1 in \(\mathfrak{P}(x,y)\)?
Procede poi, scegliendo una parametrizzazione della superficie di tipo $(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ dove $u,v$ sono le ascisse curvilinee sulle due curve asintotiche passanti per $O$, affermando che
la nota teoria delle superficie di curvatura costante -1 ci fornisce poi i seguenti fatti: se \(\varphi\) indica l'angolo tra le due curve asintotiche passanti per il punto $u,v$, le tre grandezze fondamentali della superficie assumono i valori\[e\equiv \Big(\frac{\partial x}{\partial u}\Big)^2+\Big(\frac{\partial y}{\partial u}\Big)^2+\Big(\frac{\partial z}{\partial u}\Big)^2=1\]\[f\equiv \frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v} +\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial z}{\partial v}=\cos\varphi\]\[g\equiv \Big(\frac{\partial x}{\partial v}\Big)^2+\Big(\frac{\partial y}{\partial v}\Big)^2+\Big(\frac{\partial z}{\partial v}\Big)^2=1\][...] L'angolo \(\varphi\), come funzione di $u,v$ soddisfa all'equazione differenziale a derivate parziali\[\frac{\partial^2\varphi}{\partial u\partial v}=\sin\varphi\]
L'unica cosa che capisco in questo passaggio è chi sono $e,f,g$, cioè gli elementi della matrice della prima forma fondamentale, ma non ho idea del perché debbano assumere quei valori (intuitivamente mi sembrerebbe che ciò dovrebbe valere anche se la curvatura gaussiana della superficie non fosse -1, ma è solo un'impressione), né perché valga quell'equazione alle derivate parziali per \(\varphi\). Qualcuno conosce la ragione di almeno di alcuni di questi fatti?
$\infty$ grazie a chi mi aiuterà a vederci un po' meno oscuro in quest'argomento tanto interessante!
Risposte
Ciao, ho visto solo ora questo tuo post...
sicuramente si fa riferimento al fatto che ogni superficie a curvatura costante negativa, implica l'esistenza di una parametrizzazione di Chebycheff.
Con tale parametrizzazione risulta che la prima forma fondamentale sia esattamente quella che hai riportato...
sicuramente si fa riferimento al fatto che ogni superficie a curvatura costante negativa, implica l'esistenza di una parametrizzazione di Chebycheff.
Con tale parametrizzazione risulta che la prima forma fondamentale sia esattamente quella che hai riportato...
$\infty$ grazie! Quindi si tratta di cose che non ho incontrato sul Sernesi 2, che finora, purtroppo, è l'unico testo che tratti di geometria differenziale che ho seguito. Pensare che sul retrocopertina deila mia edizione dei Fondamenti della Geometria sta scritto fruibile anche da un lettore con conoscenze elementari di matematica... 
Elementari???? 
Ipse (il libro) dixit. 
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