Proprietà prodotto scalare

[pingpong2]

Arieccome

premetto che ho tentato una ricerca con la funzione search all'interno del forum, ma il risultato della mia query sono state 500 pagine, e con tutta la buona volontà non me la sono sentita di cercare l'eventuale post che avrebbe potuto fare al caso mio..
ciò detto, vi chiedo se siate a conoscenza di una proprietà esplicita del prodotto scalare tale che , data H una matrice simmetrica NxN, si abbia
$AA v,w in RR^n, = $

Io no. Ho cercato sulle fonti a mia disposizione senza risultato.Certo, riesco a dimostrare che funziona, facendo il puro calcolo, ma mi fa strano non trovare una proprietà così utile su nessun libro o su wikipedia...

[ciampax]

Ma che stai a dire? Guarda che quella che hai appena esposto è la definzione di applicazione lineare simmetrica!

[dissonance]

Quella è proprio la definizione di matrice simmetrica. Per dirla meglio: una matrice $H$ è simmetrica se e solo se $H=H^T$. Ma essendo il prodotto scalare "standard" di $RR^n$ definito come $\langlev,w\rangle=v^Tw$, abbiamo che $\langleHv, w\rangle=v^TH^Tw=v^THw=\langlev, Hw\rangle$.

In astratto si dice di una applicazione lineare che commuta così con il prodotto scalare che è auto-aggiunta. Quanto detto sopra significa: le applicazioni lineari associate a matrici simmetriche sono auto-aggiunte. Questo argomento lo trovi trattato sul Sernesi Geometria 1; oppure anche (e secondo me molto bene) sul Lang Algebra lineare. Se ti servono i riferimenti esatti fammi sapere.

P.S.: Sposto in Geometria e algebra lineare.

[Fioravante Patrone1]

I dati sono: il prodotto scalare solito su $RR^n$ e una matrice simmetrica.

Quindi la relazione proposta da pingpong non può essere la definizione di matrice simmetrica (che è quella ricordata da dissonance).
Semmai si tratta di una proprietà che può essere vera o falsa, facile o difficile da dimostrare. Ma non la definizione.
E, poi, quanto detto da dissonance, è la breve dimostrazione del fatto che la proprietà su cui chiedeva lumi pingpong è una conseguenza delle assunzioni da lui fatte (dissonance "salta un passaggio", ma che sia $(Hv)^T=v^TH^T$ e quindi $(Hv)^Tw=v^TH^Tw$ lo si può dar per buono qui, direi).

[dissonance]

Giusto, giusto, ho fatto confusione tra due definizioni diverse, anche se parenti strette:

1) una matrice quadrata $H$ reale (ma si può ovviamente generalizzare) si dice simmetrica se e solo se $H=H^T$;
2) una applicazione lineare $T$ di uno spazio a prodotto scalare $V$ in sé stesso si dice auto-aggiunta se e solo se $\langleT(v), w\rangle=\langlev, T(w)\rangle$ per ogni $v, w\inV$.

E' evidente che 1) e 2) definiscono oggetti formalmente diversi. Però, se $V$ della definizione 2) ha dimensione finita, le due nozioni coincidono nel senso che:

una applicazione $T:V\toV$ lineare è auto-aggiunta $iff$ fissata una base ortonormale di $V$, la matrice associata a $T$ rispetto ad essa risulta essere simmetrica.

E questa ultima proposizione è una semplice verifica.