Proprietà funtoriali del gruppo fondamentale! Help!
buongiorno a tutti! come al solito mi ritrovo con alcuni dubbi:
Data una funzione continua $ f $ tra due spazi topologici $ X $ e $ Y $, sia $ f' $ la corrispondente applicazione tra gruppi fondamentali, ovvero l'applicazione che manda il gruppo fondamentale di $ X $ con punto base $ x $ nel gruppo fondamentale di $ Y $ con punto base $ f(x) $.
Ora, sappiamo che se $ f $ è l'applicazione identità allora $ f'=id' $, ma è vero anche il viceversa? cioè se $ f'=id' $ allora $ f=id $?
Data una funzione continua $ f $ tra due spazi topologici $ X $ e $ Y $, sia $ f' $ la corrispondente applicazione tra gruppi fondamentali, ovvero l'applicazione che manda il gruppo fondamentale di $ X $ con punto base $ x $ nel gruppo fondamentale di $ Y $ con punto base $ f(x) $.
Ora, sappiamo che se $ f $ è l'applicazione identità allora $ f'=id' $, ma è vero anche il viceversa? cioè se $ f'=id' $ allora $ f=id $?
Risposte
Credo proprio di no.
Se prendi uno spazio topologico semplicemente connesso, per esempio [tex]\mathbb{R}[/tex], allora ogni applicazione continua [tex]f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/tex] induce l'identità nel gruppo fondamentale corrispondente (visto che i gruppi fondamentali sono banali).
Esempio
[tex]f: \mathbb{R}\ni t\mapsto -t\in\mathbb{R}[/tex]
Prendi [tex]x=0[/tex].
L'applicazione indotta [tex]f':\pi_1(x,\mathbb{R})\to\pi_1(x,\mathbb{R})[/tex] non può che essere l'identità, ma [tex]f\neq id[/tex]
Se prendi uno spazio topologico semplicemente connesso, per esempio [tex]\mathbb{R}[/tex], allora ogni applicazione continua [tex]f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/tex] induce l'identità nel gruppo fondamentale corrispondente (visto che i gruppi fondamentali sono banali).
Esempio
[tex]f: \mathbb{R}\ni t\mapsto -t\in\mathbb{R}[/tex]
Prendi [tex]x=0[/tex].
L'applicazione indotta [tex]f':\pi_1(x,\mathbb{R})\to\pi_1(x,\mathbb{R})[/tex] non può che essere l'identità, ma [tex]f\neq id[/tex]
ok grazie 1000! 
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