Proprietà di componenti connesse e connesse per archi

[robbstark1]

In questo post cerco di ricapitolare alcune delle proprietà degli insiemi connessi e connessi per archi, che mi servono per affrontare lo studio della geometria differenziale.
Chi ha voglia può correggermi o sciogliere i miei dubbi.

Se $X$ è connesso allora $bar\X$ è connesso.

Supponiamo per assurdo che $EE A_1$, $A_2$ aperti di $X$ non vuoti tali che $A_1 nnn A_2$ sia vuoto e $A_1 uuu A_2 =bar\X$.
Poichè $X$ è connesso, $X sube A_1$ (o $X sube A_2$).
Ma poichè sia $A_1$ che $A_2$ sono non vuoti, $A_2$ (o $A_1$) deve contenere punti della chiusura di $X$ ma non di $X$, che sono quindi punti di accumulazione.
Un intorno qualunque di uno di questi punti deve contenere un punto di $X$.
L'intorno però può essere preso interamente contenuto in $A_2$ (o $A_1$), il che va in contrasto con $X sube A_1$ (o $X sube A_2$).
Allora bisogna negare l'ipotesi assurda; pertanto $bar\X$ è connesso.

Le componenti connesse di un insieme sono chiuse.

Deriva dal fatto che sono massimali e dal precedente teorema.

Se però un insieme è localmente connesso, cioè ogni punto ammette un sistema di intorni connessi, le componenti connesse risultano anche aperte.

Infatti un intorno di un punto della componente connesso sarebbe connesso.
L'unione della componente connessa e dell'intorno, è unione di connessi non disgiunti, quindi connessa.
Questa unione è la componente connessa stessa, perchè essa è massimale.
L'intorno è allora contenuto nella componente connessa, che quindi è aperta.

[robbstark1]

Cosa si può dire sugli insiemi connessi per archi?

Se $X$ è connesso per archi, si può dire che $bar\X$ è connesso per archi?.
A me sembra di no.
Ad esempio si consideri il grafico della funzione $f(x)=sen(1/x)$, per $x>0$.
Esso è connesso per archi, ma non è chiuso in $RR^2$. La sua chiusura dovrebbe contenere il segmento con $x=0$ e $y$ da $-1$ a $1$.
La chiusura non è connessa per archi.

Lo stesso esempio prova che le componenti connesse per archi non sono per forza chiuse.

Nel caso di insiemi localmente connessi per archi, cioè tali che per ogni punto esiste un intorno connesso per archi, le componenti connesse per archi risultano contemporaneamente chiuse e aperte.

Infatti presa la componente connessa per archi del punto $p$, preso un altro punto $q$ ad essa appartenente, esiste un intorno di $q$ connesso per archi.
L'unione di questo intorno e della componente connessa per archi è connesso per archi, allora è la componente stessa, perchè è massimale.
L'intorno è quindi contenuto nella componente stessa, che risulta pertanto aperta.


Se invece prendo $s$ non connettibile per archi a $p$, esiste un intorno di $s$ che non contiene punti connettibili a $p$, altrimenti $s$ sarebbe connettibile a $p$ per transitività.
Allora anche il complementare della componente connessa per archi è aperto, per cui essa è chiusa.