Proprietà di ciclicità

[Lionel2]

Salve, come posso ricordarmi il prodotto tra versori per le proprietà di ciclicità? per intenderci dati tre assi cartesiani e i versori come faccio a dire che per esempio:

$hat(i_n)xxhat(i_l)=hat(i_z)$

mi sapete postare un sito dove è spiegato?

[alle.fabbri]

Non capisco tanto bene il significato dei pedici dei versori. Se stiamo parlando di una terna destra la regoletta è che vale la relazione se fai fare agli indici delle permutazioni cicliche. Queste ultime si ottengono mantenendo l'ordine delle lettere e facendole scorrere come se fossero su un anello, quindi quella che esce a destra rientra a sinistra, e viceversa. Se prendiamo le tue lettere, la permutazioni cicliche sono $(nlz)$, $(znl)$ e $(lzn)$ che corrispondono alle relazioni vettoriali
$\hat i_n x \hat i_l = \hat I_z$
$\hat i_z x \hat i_n = \hat I_l$
$\hat i_l x \hat i_z = \hat I_n$
sfruttando poi l'antisimmetria del prodotto vettoriale ottieni anche le altre.

La dimostrazione di questo fatto puoi farla verificando le relazioni con il calcolo esplicito o scrivere la forma generale del prodotto vettoriale, tramite il tensore antisimmetrico, e mostrare che vale in generale per le proprietà di antisimmetria di quest'ultimo.

Chiedi pure se non sono stato chiaro....

[Lionel2]

"alle.fabbri":Non capisco tanto bene il significato dei pedici dei versori. Se stiamo parlando di una terna destra la regoletta è che vale la relazione se fai fare agli indici delle permutazioni cicliche. Queste ultime si ottengono mantenendo l'ordine delle lettere e facendole scorrere come se fossero su un anello, quindi quella che esce a destra rientra a sinistra, e viceversa. Se prendiamo le tue lettere, la permutazioni cicliche sono $(nlz)$, $(znl)$ e $(lzn)$ che corrispondono alle relazioni vettoriali
$\hat i_n x \hat i_l = \hat I_z$
$\hat i_z x \hat i_n = \hat I_l$
$\hat i_l x \hat i_z = \hat I_n$
sfruttando poi l'antisimmetria del prodotto vettoriale ottieni anche le altre.

La dimostrazione di questo fatto puoi farla verificando le relazioni con il calcolo esplicito o scrivere la forma generale del prodotto vettoriale, tramite il tensore antisimmetrico, e mostrare che vale in generale per le proprietà di antisimmetria di quest'ultimo.

Chiedi pure se non sono stato chiaro....

ti spiego il mio problema, forse mi ci vorrebbe un disegnino. Partendo dai i tre assi cartesiani, in cui sono stati posti i tre versori a prescindere dalle lettere come faccio a capire quali sono le 3 formulette relative alla ciclicità. Come faccio a capire da che versone devo partire?

[alle.fabbri]

"Lionel":
ti spiego il mio problema, forse mi ci vorrebbe un disegnino. Partendo dai i tre assi cartesiani, in cui sono stati posti i tre versori a prescindere dalle lettere come faccio a capire quali sono le 3 formulette relative alla ciclicità. Come faccio a capire da che versone devo partire?

Non capisco cosa intendi quando dici a prescindere dalle lettere....... Non è che puoi farmi un esempio che non ti è chiaro?

In ogni caso per i versori degli assi cartesiani vale il discorso che ti ho postato sopra, quindi le formulette sono
$\hat x x \hat y = \hat z$
$\hat y x \hat z = \hat x$
$\hat z x \hat x = \hat y$

[Lionel2]

"alle.fabbri":[quote="Lionel"]
ti spiego il mio problema, forse mi ci vorrebbe un disegnino. Partendo dai i tre assi cartesiani, in cui sono stati posti i tre versori a prescindere dalle lettere come faccio a capire quali sono le 3 formulette relative alla ciclicità. Come faccio a capire da che versone devo partire?

Non capisco cosa intendi quando dici a prescindere dalle lettere....... Non è che puoi farmi un esempio che non ti è chiaro?

In ogni caso per i versori degli assi cartesiani vale il discorso che ti ho postato sopra, quindi le formulette sono
$\hat x x \hat y = \hat z$
$\hat y x \hat z = \hat x$
$\hat z x \hat x = \hat y$[/quote]

si ma così significa saperle a memoria. io vorrei capire partendo zero, non sapendo ne leggere né scrivere come si arriva a formulare tale formulette

[ciampax]

Lo devi chiedere ad Hamilton che quasi perdeva l'amore della sua donna per arrivarci! E che è pure stato una noitte al fresco perché si è messo ad incidere con un coltellino, quando gli è venuta l'ispirazione, questa formuletta sul London Bridge!

[alle.fabbri]

Capisco....allora.....diciamo di sapere di essere in $R^3$ e di avere la nozione prodotto scalare, quindi di ortogonalità e norma. Prendiamo tre vettori linearmente indipendenti e li ortonormalizziamo con Gram-Schmidt. In questo modo otteniamo tre versori ortogonali l'un l'altro, cioè una base ortonormale composta da tre versori. Siccome li abbiamo ottenuti in successione possiamo numerarli così ${e_i}_(i=1,2,3)$. Chiaramente la numerazione non è univoca, però se cambi l'etichetta dei versori quanto segue rimane vero. Ora definiamo la nozione di prodotto vettoriale e proviamo a calcolare $e_1 x e_2$. Per le proprietà del prodotto vettoriale possono uscire solo due risultati, cioè $+- e_3$. A seconda di come è orientato il terzo versore di base rispetto agli altri tre. Chiami sistemi destri quelli per cui il risultato è $+ e_3$. Dopodichè per trovare le altre relazioni calcoli il prodotto vettoriale o usando la versione matriciale (ovviamente riferita alla terna $e_i$) oppure usi la regola della mano destra che fai anche prima (qui ti aiuta molto un disegno). Quella di prima, come giustamente osservavi, è solo la regoletta mnemonica per ricordalo. Ho risposto alla tua domanda?

[Lionel2]

Ehmmmmm, mi aspettavo qualcosa di meno complicato.
Ma scusa, allora ammettiamo che

[img=http://img34.imageshack.us/img34/1644/41314120.png]

come cambia il prodotto cicilico a seconda del sistema di riferimento se non ho una regoletta per capire da dove devo partire?

[alle.fabbri]

Ma quest'ultima cosa che ti ho scritto è solo la costruzione partendo da zero, come avevi chiesto tu... Sinceramente non capisco quale sia la tua perplessità. Prova a considerare il secondo sistema che hai linkato. Secondo te i prodotti vettoriali tra i versori quanto valgono? Prova a applicare la regola della mano destra e vedrai che non sarà così difficile...